Ограниченно компактное множество

в линейном топологическом пространстве X- такое множество М, что замыкание [img: http://localhost:8080/file/031604-54.jpg] всякого ограниченного подмножества [img: http://localhost:8080/file/031604-55.jpg] компактно и содержится в М(для нормированного пространства в сильной, соответственно слабой, топологии это равносильно компактности, соответственно слабой компактности, пересечений Мс шарами). Выпуклое замкнутое множество в нормированном пространстве является О. к. м. в том и только в том случае, когда оно локально компактно. О. к. м. находят применение в теории приближения в банаховых пространствах; они обладают свойством существования наилучшего приближения элемента. Бочечное линейное топологич. пространство, являющееся (в самом себе) О. к. м. в слабой, соответственно сильной, топологии есть рефлексивное пространство, соответственно монтелево пространство. Нормированное пространство, являющееся О. к. м., конечномерно.