Однородная ограниченная область

- однородное комплексное многообразие, изоморфное ограниченной области в [img: http://localhost:8080/file/031604-465.jpg]. Примером О. о. о. является "комплексный шар" [img: http://localhost:8080/file/031604-466.jpg] в к-ром транзитивно действует псевдоунитарная группа SUn,1, представленная проективными преобразованиями пространства [img: http://localhost:8080/file/031604-467.jpg]. Если D- любая ограниченная область в [img: http://localhost:8080/file/031604-468.jpg], то эрмитова дифференциальная форма [img: http://localhost:8080/file/031604-469.jpg] где К- Бергмана кернфункция области D, определяет в Dкэлерову метрику, наз. метрикой Бергмана и инвариантную относительно всех автоморфизмов области D(см. [1], [2]). Группа G(D)всех автоморфизмов области Dявляется вещественной группой Ли, не содержащей нетривиальных связных комплексных подгрупп. Если D- однородна, то метрика Бергмана полна. Среди О. о. о. выделяются симметрич. области. Ограниченная область Dназ. симметрической, если для любой точки [img: http://localhost:8080/file/031604-470.jpg] существует инволютивный автоморфизм области D, имеющий г изолированной неподвижной точкой. Всякая симметрич. область однородна и является эрмитовым симметрич. пространством относительно метрики Бергмана. Получена [3] классификация симметрич. областей. Имеются 4 серии неприводимых симметрич. областей, связанных с классич. простыми группами Ли, и две особые области размерностей 16 и 27. К числу классических симметрич. областей относятся, в частности, комплексный шар и верхняя полуплоскость Зигеля (см. Зигеля область). Всякая симметрич. область изоморфна прямому произведению неприводимых симметрич. областей [1]. Всякая О. о. о. размерности [img: http://localhost:8080/file/031604-471.jpg] является симметрической [3]. Начиная с размерности 4, существуют и несимметрические О. о. о. (см. [4]). Более того, при [img: http://localhost:8080/file/031604-472.jpg] имеется континуум n-мерных О. о. о., среди к-рых лишь конечное число симметрических. Каждая О. о. о. гомеоморфна клетке и аналитически изоморфна аффинно однородной области Зигеля, определенной однозначно с точностью до аффинного изоморфизма. Классификация О. о. о. производится алгебраич. средствами [5]. С О. о. о. связаны многомерные обобщения эйлеровых интегралов (интегралы Зигеля 1-го и 2-го рода), а также гипергеометрич. функции [6].