Однородная функция

степени [img: http://localhost:8080/file/031604-473.jpg] - числовая функция [img: http://localhost:8080/file/031604-474.jpg] такая, что для всех точек [img: http://localhost:8080/file/031604-475.jpg] из области ее определения и всех действительных t> 0 выполняется равенство [img: http://localhost:8080/file/031604-476.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031604-477.jpg] - действительное число; при этом предполагается, что вместе с каждой точкой [img: http://localhost:8080/file/031604-478.jpg] из области определения функции f при любом t>0 к этой области определения принадлежит и точка [img: http://localhost:8080/file/031604-479.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031604-480.jpg] Если функция [img: http://localhost:8080/file/031604-481.jpg] т. е. является многочленом степени не выше чем т, то она будет О. ф. степени тв том и только в том случае, когда все коэффициенты [img: http://localhost:8080/file/031604-482.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031604-483.jpg] равны нулю. Понятие О. ф. может быть расширено на многочлены от ппеременных над любым коммутативным кольцом с единицей. Пусть область определения Ефункции f лежит в первом квадранте: [img: http://localhost:8080/file/031604-484.jpg] и вместе с любой точкой [img: http://localhost:8080/file/031604-485.jpg] содержит и весь луч [img: http://localhost:8080/file/031604-486.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031604-487.jpg]. Для того чтобы функция f была однородной степени [img: http://localhost:8080/file/031604-488.jpg], необходимо и достаточно, чтобы существовала такая функция [img: http://localhost:8080/file/031604-489.jpg] от [img: http://localhost:8080/file/031604-490.jpg] переменных, определенная на множестве точек вида [img: http://localhost:8080/file/031604-491.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031604-492.jpg] что для всех [img: http://localhost:8080/file/031604-493.jpg] выполняется равенство [img: http://localhost:8080/file/031604-494.jpg] Если область определения Ефункции f открытое множество и функция f непрерывно дифференцируема на Е, то функция является О. ф. степени [img: http://localhost:8080/file/031604-495.jpg] в том и только в том случае, когда она при всех [img: http://localhost:8080/file/031604-496.jpg] из ее области определения удовлетворяет равенству (формула Эйлера) [img: http://localhost:8080/file/031604-497.jpg] Л. Д. Кудрявцев