Однородное пространство алгебраической группы

- алгебраическое многообразие Мвместе с заданным на нем регулярным и транзитивным действием алгебраич. группы G. Если [img: http://localhost:8080/file/031605-20.jpg], то изотропии группа [img: http://localhost:8080/file/031605-21.jpg] замкнута в G. Обратно, если Н- замкнутая подгруппа нек-рой алгебраич. группы G, то на множестве левых смежных классов [img: http://localhost:8080/file/031605-22.jpg] существует структура алгебраич. многообразия, превращающая его в О. п. а. г. G, причем естественное отображение [img: http://localhost:8080/file/031605-23.jpg] регулярно, сепарабельно и обладает следующим универсальным свойством: для любого морфизма [img: http://localhost:8080/file/031605-24.jpg], постоянного на смежных классах, существует такой морфизм [img: http://localhost:8080/file/031605-25.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/031605-26.jpg]. Если М- любое О. п. а. г. Gи H=GX для какого-либо [img: http://localhost:8080/file/031605-27.jpg], то естественное биективное отображение [img: http://localhost:8080/file/031605-28.jpg] регулярно, а если основное поле Кимеет характеристику 0, то [img: http://localhost:8080/file/031605-29.jpg] бирегулярно (см. [1], [3]). Пусть связная группа G, однородное пространство Ми действие группы Gна Мопределены над нек-рым подполем [img: http://localhost:8080/file/031605-30.jpg]. Тогда группа k-рациональных точек G(k). переводит М(к)в себя и [img: http://localhost:8080/file/031605-31.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/031605-32.jpg] Если кконечно, то [img: http://localhost:8080/file/031605-33.jpg], а если при этом подгруппа изотропии Gx связна, то G(h)транзитивно действует на М(к). В общем случае изучение k-рациональных точек в Мсводится к задачам теории Галуа когомологий (см. [2]). О. п. а. г. Gвсегда является гладким квазипроективным многообразием (см. [5]). Если G- аффинная алгебраич. группа, то многообразие G/H проективно тогда и только тогда, когда Н- параболическая подгруппа в G(см. [3]). Если Gредуктивна, то многообразие G/H аффинно тогда и только тогда, когда подгруппа Нредуктивна (см. Мацусимы критерий). Известно также описание замкнутых подгрупп Нлинейной алгебраич. группы Gнад алгебраически замкнутым полем характеристики 0, для к-рых G/H квазиаффинно (см. [4], [6]).