Оптимальности достаточные условия

- условия, обеспечивающие оптимальность данного решения задачи вариационного исчисления в выбранном классе кривых сравнения. О. д. у. слабого минимума (см. [1]): для того чтобы кривая [img: http://localhost:8080/file/041605-23.jpg] доставляла слабый минимум функционалу [img: http://localhost:8080/file/041605-24.jpg] (1) при граничных условиях. y.(x0) = y0,y(x1) = y1, достаточно, чтобы выполнялись следующие условия. 1) Кривая [img: http://localhost:8080/file/041605-25.jpg] должна быть экстремалью, т. е. удовлетворять Эйлера уравнению [img: http://localhost:8080/file/041605-26.jpg] 2) Вдоль кривой [img: http://localhost:8080/file/041605-27.jpg], включая ее концы, должно выполняться усиленное Лежандра условие Fy'y'(х, у, y') >0. 3) Кривая [img: http://localhost:8080/file/041605-28.jpg] должна удовлетворять усиленному Якоби условию, требующему, чтобы решение уравнения Якоби [img: http://localhost:8080/file/041605-29.jpg] (2) с начальными условиями h(x0)=0, h'(x0) = 1 не обращалось в нуль в точках замкнутого справа интервала [img: http://localhost:8080/file/041605-30.jpg] Коэффициенты уравнения Якоби (2), представляющего собой линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка, вычисляются вдоль экстремали [img: http://localhost:8080/file/041605-31.jpg] и представляют известные функции от х. Для сильного минимума достаточно, чтобы дополнительно, помимо перечисленных выше, выполнялось следующее условие. 4) Существует окрестность кривой [img: http://localhost:8080/file/041605-32.jpg], в каждой точке (x, у).к-рой при любом у' выполняется неравенство [img: http://localhost:8080/file/041605-33.jpg] (3) где [img: http://localhost:8080/file/041605-34.jpg] - функция Вейерштрасса, а и(х, у) - наклон поля. экстремалей, окружающего [img: http://localhost:8080/file/041605-35.jpg] На самой экстремали [img: http://localhost:8080/file/041605-36.jpg] условие (3) принимает вид [img: http://localhost:8080/file/041605-37.jpg] (4) Условие (4) является необходимым для сильного минимума; оно наз. необходимым условием Вейерштрасса. Таким образом, в отличие от достаточных условий слабого минимума, к-рые требуют выполнения нек-рых усиленных необходимых условий в точках самой экстремали, в достаточных условиях сильного минимума требуется выполнение необходимого условия Вейерштрасса в нек-рой окрестности экстремали. В общем случае нельзя ослабить формулировку достаточных условий сильного минимума, заменив требование выполнения условия Вейерштрасса в окрестности экстремали на усиленное условие Вейерштрасса (условие (4) со знаком строгого неравенства) в точках экстремали (см. [1]). Для неклассических вариационных задач, рассматриваемых в оптимального управления математической теории, существует несколько подходов к установлению О. д. у. абсолютного экстремума. Пусть поставлена задача оптимального управления, в к-рой требуется определить минимум функционала [img: http://localhost:8080/file/041605-38.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041605-39.jpg] при условиях [img: http://localhost:8080/file/041605-40.jpg] где U - заданное замкнутое множество р-мерного пространства. При использовании метода динамического программирования [3] О. д. у. формулируются следующим образом. Для того чтобы управление u(t).было оптимальным управлением в задаче (5)-(8), достаточно, чтобы: 1) существовала такая непрерывная функция S(x), к-рая имеет непрерывные частные производные при всех х, за исключением, быть может, нек-рого кусочно гладкого множества размерности меньше п, равна нулю в конечной точке х 1, S(x1)=0, и удовлетворяет уравнению Беллмана [img: http://localhost:8080/file/041605-41.jpg] 2) u(t)=v(x(t)), при [img: http://localhost:8080/file/041605-42.jpg], где v(х) - синтезирующая функция, определяемая из уравнения Беллмана: [img: http://localhost:8080/file/041605-43.jpg] В действительности при использовании метода динамич. программирования получается более сильный результат: О. д. у. для множества различных управлений, переводящих фазовую точку из произвольного начального состояния в заданное конечное состояние x1. В более общем случае, когда рассматривается неавтономная система, т. е. подинтегральная функция и вектор-функция правых частей зависят еще и от времени t, функция Sдолжна зависеть от tи к левой части уравнения (9) следует добавить слагаемое [img: http://localhost:8080/file/041605-44.jpg]. Имеется доказательство (см. [4]), в к-ром удалось снять весьма стеснительное и не выполняющееся в большинство задач, но обычно предполагаемое условие непрерывной дифференцируемости функции S(х).для всех х. О. д. у. могут быть построены на основе принципа максимума Понтрягина. Если в нек-рой области Gфазового пространства осуществлен регулярный синтез, то все траектории, полученные с помощью принципа максимума при построении регулярного синтеза, являются оптимальными в области G. Определение регулярного синтеза хотя и является довольно громоздким, но по существу не накладывает особых ограничений на задачу (5)-(8). Существует другой подход к установлению О. д. у. (см. [5]). Пусть j(x) - функция, непрерывная вместе со своими частными производными при всех допустимых х, принадлежащих заданной области G, и [img: http://localhost:8080/file/041605-45.jpg] Для того чтобы пара [img: http://localhost:8080/file/041605-46.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041605-47.jpg] доставляла абсолютный минимум в задаче (5) - (8), достаточно существование такой функции j(x), что [img: http://localhost:8080/file/041605-48.jpg] Допускаются соответствующие изменения приведенной формулировки О. д. у. для более общих случаев неавтономной системы, задач с функционалами типа Майера и Больца (см. Больца задача), а также для скользящих оптимальных режимов (см. [5]). Исследовались вариационные задачи с функционалами в виде кратных интегралов и дифференциальными связями в форме уравнений с частными производными, в к-рых рассматриваются функции нескольких переменных (см. [6]).