Орбитальная устойчивость

свойство траектории x (решения х(t)) автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений [img: http://localhost:8080/file/041606-115.jpg] состоящее в следующем: для всякого e>0 существует d>0 такое, что всякая положительная полутраектория, начинающаяся в d-окрестности траектории x, содержится в e-окрестности траектории x. Здесь под траекторией понимается множество значений решения x(t), [img: http://localhost:8080/file/041606-116.jpg], системы (*), а под положительной полутраекторией - множество значений решения x(t).при [img: http://localhost:8080/file/041606-117.jpg]. Если решение x(t).устойчиво по Ляпунову, то его траектория орбитально устойчива. Траектория x наз. асимптотически орбитально устойчивой, если она орбитально устойчива и, кроме того, найдется d0>0 такое, что траектория всякого решения x(t).системы (*), начинающегося в d0 -окрестности траектории x (т. е. d(x(0), x)<d0), стремится при [img: http://localhost:8080/file/041606-118.jpg] к траектории x, то есть [img: http://localhost:8080/file/041606-119.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041606-120.jpg] - расстояние от точки хдо множества x (d(x, у) - расстояние между точками хи у). Роль понятия асимптотической орбитальной устойчивости основана на следующих фактах. Периодич. решение системы (*) никогда не бывает асимптотически устойчивым. Но если у периодич. решения такой системы модули всех мультипликаторов, кроме одного, меньше единицы, то траектория этого периодич. решения асимптотически орбитально устойчива (Андронова - Витта теорема). Имеет место также более общая теорема Демидов и ча (см. [3]): пусть x0(t) - ограниченное решение системы (*), причем [img: http://localhost:8080/file/041607-1.jpg] и пусть система уравнений в вариациях вдоль x0(t).- правильная (см. Правильная линейная система), причем все ее Ляпунова характеристические показатели, кроме одного, отрицательны; тогда траектория решения x0(t).асимптотически орбитально устойчива.