Ортогонализации метод

метод решения системы линейных алгебраич. уравнений Ах=b с невырожденной матрицей А, основанный на процессе Грама-Шмидта ортогонализации системы векторов. Если [img: http://localhost:8080/file/041608-1.jpg] то исходная система уравнений может быть записана в виде (ai,y)=0, i = l, 2,..., n. Это значит, что решение системы равносильно нахождению вектора у, имеющего единичную последнюю компоненту и ортогонального ко всем векторам ai, i=l,2,..., п. Для этого к системе векторов a1,а 2,..., а n, а n+1, где а n+1=(0,0,...,1), линейно независимой в силу невырожденности матрицы А, применяется процесс ортогонализации, состоящий в построении ортонормированной относительно скалярного произведения (х, у). [img: http://localhost:8080/file/041608-2.jpg] системы векторов q1,q2,...,qn+1 по рекуррентным соотношениям [img: http://localhost:8080/file/041608-3.jpg] Коэффициенты ci здесь находятся из условия ортогональности vk, векторам q1,q2,...,qk-1 Векторы a1,а 2,...,а п линейно выражаются через q1,q2,...,qn, поэтому вектор qn+1=(z1,z2,...zn+1).ортогонален ко всем векторам al,a2,...,а n. При этом невырожденность матрицы Аобеспечивает выполнение [img: http://localhost:8080/file/041608-4.jpg]. Таким образом, [img: http://localhost:8080/file/041608-5.jpg] - искомое решение системы. Описанная схема О. м. хорошо вписывается в общую схему прямых методов решения системы: соотношения [img: http://localhost:8080/file/041608-6.jpg] равносильны преобразованию матрицы системы в матрицу Ln,Ln-1,...L1 А, где [img: http://localhost:8080/file/041608-7.jpg] и тем самым осуществляют факторизацию матрицы системы в виде A = LQ, где L - треугольная, Q- унитарная матрицы. Процесс факторизации матрицы Апо О. м. устойчив к ошибкам округления. Если в [img: http://localhost:8080/file/041608-8.jpg] при выполнении операции скалярного произведения векторов использовать процедуру накопления с удвоенной точностью, то для факторизации матрицы по О. м. имеет место одна из лучших оценок точности в классе прямых методов. При этом, однако, свойство ортогональности векторов q1,q2,...,qn, то есть унитарности матрицы Q, неустойчиво по отношению к ошибкам округления. Поэтому решение системы, полученное из рекуррентных соотношений [img: http://localhost:8080/file/041608-9.jpg], может иметь большую погрешность. Для устранения этого недостатка используются различные методы переортогонализации (см. [1], [2]). О. м. уступает многим прямым методам по быстродействию.