Ортогональная система

- 1) О. 2) О. с. координат - система координат, и к-рой координатные линии (или поверхности) пересекаются под прямым углом. О. с. координат существуют в любом евклидовом пространстве, но, вообще говоря, не существуют в произвольном пространстве. В двумерном гладком аффинном пространстве О. с. всегда можно ввести по крайней мере в достаточно малой окрестности каждой точки. Иногда возможно введение О. с. координат в делом. В О. с. метрич. тензор gij диагоналей; диагональные компоненты gii принято наз. коэффициентами Ламе. Ламе коэффициент О. с. в пространстве выражаются формулами [img: http://localhost:8080/file/041608-140.jpg] где x, у и z - декартовы прямоугольные координаты. Через коэффициенты Ламе выражаются элемент длины: [img: http://localhost:8080/file/041608-141.jpg] элемент площади поверхности: [img: http://localhost:8080/file/041608-142.jpg] элемент объема: [img: http://localhost:8080/file/041608-143.jpg] векторные дифференциальные операции: [img: http://localhost:8080/file/041608-144.jpg] Наиболее часто используемые О. с. координат: на плоскости - декартовы, полярные, эллиптические, параболические; в пространстве - сферические, цилиндрические, параболоидальные, бицилиндрические, биполярные. Д. Д. Соколов. 3) О. с. функций - конечная или счетная система {ji(x)} функций, принадлежащих пространству L2(X, S,m) и удовлетворяющих условиям [img: http://localhost:8080/file/041608-145.jpg] Если li=1 для всех i, то система наз. ортонормированной. При этом предполагается, что мера m(x), определенная на s-алгебре Sподмножеств множества X, счетно аддитивна, полна и имеет счетную базу. Это определение О. с. включает все рассматриваемые в современном анализе О. с.; они получаются при различных конкретных реализациях пространства с мерой (X, S,m). Наибольший интерес представляют полные ортонормированные системы {jn(x)}, обладающие тем свойством, что для любой функции [img: http://localhost:8080/file/041608-146.jpg] существует единственный ряд [img: http://localhost:8080/file/041608-147.jpg], сходящийся к f(x) в метрике пространства L2(X, S,m), при этом коэффициенты с п определяются формулами Фурье [img: http://localhost:8080/file/041608-148.jpg] Такие системы существуют в силу сепарабельности пространства L2(X, S,m). Универсальный способ построения полных ортонормированных систем дает метод ортогонализации Шмидта. Для этого достаточно применить его к нек-рой полной L2(S, X,m) системе линейно независимых функций. В теории ортогональных рядов в основном рассматриваются О. с. пространЛва L2[a, b](тот частный случай, когда Х=[ а, b], S - система множеств, измеримых по Лебегу, и m - мера Лебега). Многие теоремы о сходимости или суммируемости рядов [img: http://localhost:8080/file/041608-149.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041608-150.jpg], по общим О. с. {jn(x)} пространства L2[a, b]верны и для рядов по ортонормированным системам пространства L2(X, S,m). Вместе с тем в этом частном случае построены интересные конкретные О. с., обладающие теми или иными хорошими свойствами. Таковы, например, системы Хаара, Радемахера, Уолша-Пэли, Франклина. 1) Система Хаара [img: http://localhost:8080/file/041608-151.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041608-152.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041608-153.jpg] где m=2n+k, [img: http://localhost:8080/file/041608-154.jpg], т=2,3,.... Ряды по системе Хаара представляют типичный пример мартингалов и для них верны общие теоремы из теории мартингалов. Кроме того, система [img: http://localhost:8080/file/041608-155.jpg] является базисом в Lp[0,1], [img: http://localhost:8080/file/041608-156.jpg], и ряд Фурье по системе Хаара любой интегрируемой функции почти всюду сходится. 2) Система Радемахера [img: http://localhost:8080/file/041608-157.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041608-158.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041608-159.jpg] представляет собой важный пример О. с. независимых функций и имеет применения как в теории вероятностей, так н в теории ортогональных и общих функциональных рядов. 3) Система Уолша - Пэли [img: http://localhost:8080/file/041608-160.jpg] определяется через функции Радемахера: [img: http://localhost:8080/file/041608-161.jpg] где числа ти qk определяются из двоичного разложения числа п: [img: http://localhost:8080/file/041608-162.jpg] 4) Система Франклина [img: http://localhost:8080/file/041608-163.jpg] получается ортогонализацией методом Шмидта последовательности функций [img: http://localhost:8080/file/041608-164.jpg] Она является примером ортогонального базиса пространства С[0, 1] непрерывных функций. В теории кратных ортогональных рядов рассматриваются системы функций вида [img: http://localhost:8080/file/041608-165.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041608-166.jpg] - ортонормированная система в L2[a, b]. Такие системы ортонормированы на m-мерном кубе Jm =[a, b]x...x[ а, b] и полны, если полна система {jn(x)}