Ортогональные многочлены

в комплексной области - общее название многочленов, ортогональных на окружности, по контуру или по площади. В отличие от случая ортогональности в действительной области, многочлены указанных трех систем могут иметь мнимые коэффициенты и рассматриваются при всех комплексных значениях независимого переменного. Характерном особенностью случаев ортогональности в комплексной области является тот факт, что в ряды Фурье по указанным системам разлагаются обычно аналитич. ции комплексного переменного, удовлетворяющие нек-рым дополнительным условиям в окрестности границы области аналитичности. 1) О. м. на окружноcти - система многочленов [img: http://localhost:8080/file/041609-124.jpg], имеющих положительный старший коэффициент и удовлетворяющих условию ортогональности (обычно ортонормированности): [img: http://localhost:8080/file/041609-125.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041609-126.jpg] - ограниченная неубывающая на сегменте [img: http://localhost:8080/file/041609-127.jpg] функция с бесконечным числом точек роста, наз. функцией распределения, а [img: http://localhost:8080/file/041609-128.jpg] - символ Кронекера. Аналогично случаю ортогональности на отрезке, для многочленов [img: http://localhost:8080/file/041609-129.jpg] имеют место рекуррентное соотношение и аналог формулы Кристоффеля - Дарбу. Асимптотич. свойства исследуются при условии [img: http://localhost:8080/file/041609-130.jpg] Случай ортогональности на окружности как периодич. случай изучен достаточно подробно, поскольку здесь успешно применяются результаты о приближении периодических функций тригонометрическими полиномами. Пусть многочлены [img: http://localhost:8080/file/041609-131.jpg] ортонормированы на сегменте [-1, 1] с дифференциальным весом h(x),a весовая функция на окружности имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041609-132.jpg] Тогда при условии [img: http://localhost:8080/file/041609-133.jpg] имеет место формула Сегё [img: http://localhost:8080/file/041609-134.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041609-135.jpg] - старший коэффициент многочлена [img: http://localhost:8080/file/041609-136.jpg]. Если аналитическая в круге |z|<l функция f(z) имеет угловые граничные значения на окружности |z|=l, то при нек-рых дополнительных предположениях справедливо разложение [img: http://localhost:8080/file/041609-137.jpg] коэффициенты к-рого определяются по формуле [img: http://localhost:8080/file/041609-138.jpg] Ряды вида (1) являются непосредственным обобщением рядов Тейлора: при [img: http://localhost:8080/file/041609-139.jpg] будет [img: http://localhost:8080/file/041609-140.jpg]. При нек-рых условиях на функцию распределения [img: http://localhost:8080/file/041609-141.jpg] ряд (1) в точках окружности |z|=1 сходится или расходится одновременно с рядом Тейлора этой же функции f(z), т. е. имеет место теорема о равносходимости этих двух рядов. 2) О. м. по контуру - система многочленов {Pn(z)}, имеющих положительный старший коэффициент и удовлетворяющих условию [img: http://localhost:8080/file/041609-142.jpg] где Г - спрямляемая жорданова (обычно замкнутая) кривая в комплексной плоскости, а весовая функция h(z).интегрируема но Лебегу и почти всюду положительна на Г. Пусть в конечной односвязной области С, ограниченной кривой Г, задана аналитич. ция f(z), граничные значения к-рой на контуре Г интегрируемы в квадрате с весом h(z). Тогда с помощью формулы для коэффициентов [img: http://localhost:8080/file/041609-143.jpg] этой функции ставится в соответствие ряд Фурье по ортогональным многочленам: [img: http://localhost:8080/file/041609-144.jpg] Эти ряды являются естественным обобщением рядов Тейлора но свойству ортогональности на случай одно-связной области и служат для представления аналитич. ций. Если выполняется условие полноты [img: http://localhost:8080/file/041609-145.jpg] где нижняя грань берется по множеству всех многочленов Qn(z), то ряд (2) сходится к функции f(z) в среднем но контуру Г с весом h(z), а при нек-рых дополнительных условиях и равномерно внутри области G. 3) О. м. по площади - система многочленов [img: http://localhost:8080/file/041609-146.jpg], имеющих положительный старший коэффициент и удовлетворяющих условию [img: http://localhost:8080/file/041609-147.jpg] где весовая функция h(z).неотрицательна, интегрируема по площади конечной области Си неэквивалентна нулю. Если имеет место условие полноты [img: http://localhost:8080/file/041609-148.jpg] где нижняя грань берется по множеству всех многочленов Qn(z), то ряд Фурье по многочленам [img: http://localhost:8080/file/041610-1.jpg] Функции f(z), аналитической в односвязноп области Gсходится к этой функции в среднем по площади области Gс весом h(z), а при нек-рых дополнительных условиях и равномерно внутри области G.