Ортогональный базис

- система попарно ортогональных элементов е 1, е 2,..., е п,... гильбертова пространства Xтакая, что любой элемент [img: http://localhost:8080/file/041610-2.jpg] однозначно представим в виде сходящегося по норме ряда [img: http://localhost:8080/file/041610-3.jpg] наз. рядом Фурье элемента хпо системе {е i}. Обычно базис { е i} выбирается так, что || е i||=1, и тогда он наз. ортонормированным базисом. В этом случае числа С i, наз. коэффициентами Фурье элемента хпо ортонормированному базису { е i}, имеют вид с i=(х, е i). Необходимым и достаточным условием того, чтобы ортонормированная система { е i} была базисом, является равенство Парсеваля-Стеклова [img: http://localhost:8080/file/041610-4.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/041610-5.jpg]. Гильбертово пространство, имеющее ортонормированный базис, является сепарабельным, и обратно, во всяком сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированныи базис. Если задана произвольная система чисел {с i} такая, что [img: http://localhost:8080/file/041610-6.jpg], то в случае гильбертова пространства с базисом { е i} ряд [img: http://localhost:8080/file/041610-7.jpg] сходится по норме к нек-рому элементу [img: http://localhost:8080/file/041610-8.jpg]. Этим устанавливается изоморфизм любого сепарабельного гильбертова пространства пространству l2 (теорема Рисса - Фишера).