Ортогональный ряд

ряд вида [img: http://localhost:8080/file/041610-20.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041610-21.jpg] - ортонормированная система функций (онс) относительно меры [img: http://localhost:8080/file/041610-22.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/041610-23.jpg] Начиная с 18 в. при изучении различных вопросов математики, астрономии, механики и физики (движение планет, колебание струн, мембран и др.) в исследованиях Л. Эйлера (L. Euler), Д. Бернулли (D. Bernoulli), А. Лежандра (A. Legendre), П. Лапласа (Р. Laplace), Ф. Бесселя (F. Bessel) и др. эпизодически появляются нек-рые специальные онс и разложения функций по ним. Определяющее же влияние на становление теории О. р. оказали: а) исследования Ж. Фурье (J. Fourier, 1807-22) (Фурье метод решения краевых задач уравнений математич. физики) и в связи с ними работы Ж. Штурма и Ж. Лиувилля (J. Sturm,. J. Liouville, 1837-41); б) исследования П. Л. Чебышева по интерполированию и проблеме моментов (сер. 19 в.), повлекшие за собой создание им общей теории ортогональных многочленов; в) исследования Д. Гильберта (D. Hilbert, нач. 20 в.) по интегральным уравнениям, где, в частности, были установлены общие теоремы о разложении функций в ряд по онс; г) создание А. Лебегом (Н. Lebesgue) теории меры н интеграла Лебега, придавшие теории О. р. современный вид. Активному развитию теории О. р. в 20 в. способствует применение онс функций и рядов по ним в самых разнообразных разделах науки (математич. физика, вычислительная математика, функциональный анализ, квантовая механика, математич. статистика, операционное исчисление, автоматич. регулирование и управление, различные технич. задачи и т. п.). Характерные результаты и направления исследований в теории О. р. 1) Пусть [img: http://localhost:8080/file/041610-24.jpg] - мера Лебега и {jn} - онс. Тогда если [img: http://localhost:8080/file/041610-25.jpg], то числа [img: http://localhost:8080/file/041610-26.jpg] наз. коэффициентами Фурье, а ряд (1) с [img: http://localhost:8080/file/041610-27.jpg] - рядом Фурье функции f по системе [img: http://localhost:8080/file/041610-28.jpg] Система [img: http://localhost:8080/file/041610-29.jpg] замкнута относительно пространства L2, если для любой функции [img: http://localhost:8080/file/041610-30.jpg] и любого числа [img: http://localhost:8080/file/041610-31.jpg] найдется полином [img: http://localhost:8080/file/041610-32.jpg] такой, что норма [img: http://localhost:8080/file/041610-33.jpg]. Система [img: http://localhost:8080/file/041610-34.jpg] полна относительно L2, если из условий [img: http://localhost:8080/file/041610-35.jpg] и an(f)=0 при всех [img: http://localhost:8080/file/041610-36.jpg] следует, что f(x)=0 почти всюду, т. е. f - нулевой элемент пространства L2 Если для нек-рой функции [img: http://localhost:8080/file/041610-37.jpg] выполняется равенство [img: http://localhost:8080/file/041610-38.jpg] (2) то говорят, что функция f удовлетворяет условию замкнутости Ляпунова - Стеклова (или равенству Парсеваля). Это условие эквивалентно сходимости частных сумм ряда Фурье от f по норме пространства L2 к функции f. Аналогично даются определения замкнутости, полноты и условия замкнутости для более общих пространств и мер. Одним из важнейших вопросов теории О. р. является вопрос однозначного определения функции по ее коэффициентам Фурье. Для пространств L2 он самым тесным образом связан с выполнением равенства (2) для всех функций [img: http://localhost:8080/file/041610-39.jpg] Для случая тригонометрич. системы равенство (2) в 1805 было приведено (фактически без доказательства) М. Парсевалем (М. Parseval), а в 1828 Ф. Бессель установил, что [img: http://localhost:8080/file/041610-40.jpg] неравенство Бесселя). В 1896 А. М. Ляпунов доказал равенство (2) для интегрируемых по Риману функций, а потом П. Фату (P. Fatou) для случая [img: http://localhost:8080/file/041610-41.jpg] В. А. Стекловым (1898-1904) был поставлен вопрос о замкнутости общих онс и положительно решен для многих ортогональных систем (сферич. функции, собственные функции оператора Штурма - Лиувилля, системы ортогональных многочленов Эрмита, Лагерра, функции Ламе и др.). Что касается неравенства (3), то оно оказалось справедливым для произвольных онс и функций [img: http://localhost:8080/file/041610-42.jpg] С 1907 Ф. Рисс (F. Biesz) и Э. Фишер (Е. Fischer) доказали, что для любой онс [img: http://localhost:8080/file/041610-43.jpg] и любой последовательности чисел [img: http://localhost:8080/file/041610-44.jpg] найдется функция [img: http://localhost:8080/file/041610-45.jpg], для к-рой [img: http://localhost:8080/file/041610-46.jpg] и выполнено равенство (2). Из этой теоремы и неравенства Бесселя вытекает, что для любых онс полнота и замкнутость эквивалентны в пространстве L2;замкнутость в пространствах Lp с [img: http://localhost:8080/file/041610-47.jpg] эквивалентна полноте в пространстве Lp', где [img: http://localhost:8080/file/041610-48.jpg] (С. Банах, S. Banach, 1931). Неравенство Бесселя и теорема Рисса - Фишера были распространены Г. Харди (G.'Hardy), Дж. Литлвудом (J. Littlewood) и Р. Пэли (R. Paley) на пространства Lp. Именно, пусть [img: http://localhost:8080/file/041610-49.jpg] - онс, [img: http://localhost:8080/file/041610-50.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041610-51.jpg]. Тогда: а) если [img: http://localhost:8080/file/041610-52.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/041610-53.jpg] б) если дана последовательность [img: http://localhost:8080/file/041610-54.jpg] с [img: http://localhost:8080/file/041610-55.jpg] то найдется функция [img: http://localhost:8080/file/041610-56.jpg], для к-рой [img: http://localhost:8080/file/041610-57.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041610-58.jpg], где Азависит лишь от ри М. 2).Другой крупной проблемой теории О. р. является вопрос разложения функции в ряд по простым функциям, сходящийся к ней по норме того пли иного пространства. Система элементов [img: http://localhost:8080/file/041610-59.jpg] из B-прост-ранства Енал. базисом (безусловным базисом), если каждый элемент [img: http://localhost:8080/file/041610-60.jpg] единственным образом представляется в виде ряда [img: http://localhost:8080/file/041610-61.jpg] сходящегося (безусловно сходящегося) к f по норме пространства Е. Если [img: http://localhost:8080/file/041610-62.jpg] - базис в Е, то [img: http://localhost:8080/file/041610-63.jpg] являются линейными непрерывными функционалами в пространстве Еи в случае [img: http://localhost:8080/file/041610-64.jpg] с [img: http://localhost:8080/file/041610-65.jpg] имеют вид [img: http://localhost:8080/file/041610-66.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041610-67.jpg] - базис пространства [img: http://localhost:8080/file/041610-68.jpg] биортонормированная система (С. Банах). В частности, если [img: http://localhost:8080/file/041610-69.jpg], то есть [img: http://localhost:8080/file/041610-70.jpg] - онс, то ортого- нальный базис в Lp автоматически является базисом во всех пространствах Lr, где r- любое число между pи р'. Исследования по указанной проблеме ведутся в двух направлениях: а) по заданной онс [img: http://localhost:8080/file/041610-71.jpg] находятся те пространства, в к-рых [img: http://localhost:8080/file/041610-72.jpg] является базисом; б) для заданного пространства Еотыскиваются в нем базисы или ортогональные базисы. В обоих случаях исследуется взаимосвязь свойств функции f и ее разложения. Что касается тригонометрич. системы, то она не является базисом пространства непрерывных функций С(П. Дюбуа-Реймон, P. Du Bois Reymond, 1876), но является базисом в пространствах Lp с [img: http://localhost:8080/file/041610-73.jpg] (М. Рисc, М. Riesz, 1927). Результат П. Дюбуа-Реймона был распространенна любые ограниченные в совокупности онс. Ортонормированная система многочленов Лежандра является базисом в пространствах Lp при [img: http://localhost:8080/file/041610-74.jpg] и не является таковой в остальных пространствах Lq(1946-52, X. Поллард, H. Pollard, Дж. Нейман, J. Neumann, и В. Рудин, W. Rudin). В 1910 была построена онс [img: http://localhost:8080/file/041610-75.jpg] такая, что всякая непрерывная функция [img: http://localhost:8080/file/041610-76.jpg] единственным образом раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье по этой системе (А. Хаар, А. Нааr). Однако система Хаара [img: http://localhost:8080/file/041610-77.jpg] не является базисом пространства С(0,1), т. [img: http://localhost:8080/file/041610-81.jpg] является базисом в пространстве С(0,1) и тем самым был найден первый базис в пространстве непрерывных функций. Этот результат Г. Фабера был переоткрыт Ю. Шаудером (J. Schauder, 1927), к-рый указал также класс базисов пространства С(0,1) типа базиса [img: http://localhost:8080/file/041610-82.jpg]; в честь последнего и введен термин "базис Шаудера", хотя более справедливо было бы называть его "базис Фабера - Шаудера". Построенные Г. Фабером и Ю. Шаудером базисы не являются ортогональными. Первый ортонормированный базис {Fn} в пространстве С (0,1) был найден Ф. Франклином (Ph. Franklin, 1928), к-рый проортогонализировал методом Шмидта систему Фабера - Шаудера {fn} и получил {Fn}. На этом пути (ортогонализация и интегрирование) был введен и изучен новый класс базисов. Все ортонормированные базисы пространства С(0,1) автоматически являются базисами во всех пространствах Lp с [img: http://localhost:8080/file/041610-83.jpg] Система Хаара [img: http://localhost:8080/file/041610-84.jpg] является безусловным базисом но всех пространствах Lp с [img: http://localhost:8080/file/041610-85.jpg] (1931-37, Р. Пэли, Ю. Марцинкевич, J. Marcinkiewicz). Аналогичный результат имеет место и для системы {Fn} Франклина. В пространствах Си Lвообще нет безусловных базисов. Точно также не существует нормированных и ограниченных в совокупности безусловных базисов и пространствах Lp при [img: http://localhost:8080/file/041610-86.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041610-87.jpg] 3) Большой цикл исследований проведен по проблеме сходимости почти всюду тригонометрических и ортогональных рядов. В 1911 Н. Н. Лузин построил первый пример почти всюду расходящегося тригонометрич. ряда, коэффициенты к-рого стремятся к нулю. Такого типа ряд Фурье был построен А. Н. Колмогоровым (1923). Результат Н. Н. Лузина был распространен на произвольные полные онс, а результат А. Н. Колмогорова обобщен на множества положительной меры для ограниченных в совокупности онс. Неотрицательная последовательность [img: http://localhost:8080/file/041610-88.jpg] с [img: http://localhost:8080/file/041610-89.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041610-90.jpg] наз. множителем Вейля для сходимости почти всюду рядов по системе [img: http://localhost:8080/file/041610-91.jpg], если всякий ряд (1) сходится почти всюду на [img: http://localhost:8080/file/041610-92.jpg], как только [img: http://localhost:8080/file/041610-93.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/041610-94.jpg] является множителем Вейля, то [img: http://localhost:8080/file/041610-95.jpg] наз. системой сходимости почти всюду. Последовательность [img: http://localhost:8080/file/041610-96.jpg] наз. точным множителем Вейля для сходимости почти всюду рядов (1), если [img: http://localhost:8080/file/041610-97.jpg] - множитель Вейля, а всякая [img: http://localhost:8080/file/041610-98.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041610-99.jpg] уже не является таковой. Аналогично даются определения множителей Вейля для тех или иных видов сходимости и суммируемости (по мере, безусловная сходимость почти всюду и др.). Множители Вейля были найдены для тех или иных систем. В 1913 М. Планшерель (М. Plancherel) доказал, что {log3n} является множителем Вейля для сходимости дочти всюду рядов по любым онс [img: http://localhost:8080/file/041610-100.jpg], в 1922 Д. Е. Меньшов и X. Радемахер (Н. Rademacher) установили, что в качестве множителя Вейля можно взять {log2n}. И что особенно важно, Д. Е. Меньшов доказал неусиляемость этого результата во всем классе онс, т. е. {log2n} является точным множителем Вейля для нек-рых онс. Впоследствии были найдены необходимые и достаточные условия того, чтобы [img: http://localhost:8080/file/041610-101.jpg] была множителем Вейля для сходимости или (С,1)-суммируемости почти всюду (по мере и др.) О. р. Было показано, напр., что. система [img: http://localhost:8080/file/041610-102.jpg] не является системой сходимости почти всюду. В 1975 была построена первая полная онс [img: http://localhost:8080/file/041610-103.jpg] строгой сходимости, т. е. ряд (1) сходится почти всюду на X=[0,1] тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/041610-104.jpg] В 1927 установлено, что последовательность и w(n)=t(n) log2n является множителем Вейля для безусловной сходимости почти всюду любых О. р., если [img: http://localhost:8080/file/041610-105.jpg] Этот результат оказался неусиляемым. В 1960 было показано, что система Хаара [img: http://localhost:8080/file/041610-106.jpg] не является системой безусловной сходимости почти всюду. На основе этого результата было доказано, что многие системы (базисы в L2 полные онс и др.) не являются системами безусловной сходимости почти всюду. Для системы [img: http://localhost:8080/file/041610-107.jpg] последовательность [img: http://localhost:8080/file/041610-108.jpg] лишь тогда является множителем Вейля для безусловной сходимости почти всюду, когда [img: http://localhost:8080/file/041610-109.jpg] Поэтому не всякая полная онс имеет точный множитель Вейля для безусловной сходимости почти всюду. Много исследований было проведено по проблеме представления функций рядами, сходящимися почти всюду, по мере и др. Так, в 1957 было установлено, что для любой полной онс [img: http://localhost:8080/file/041610-110.jpg] с [img: http://localhost:8080/file/041610-111.jpg] и любой измеримой функции f(x).найдется ряд вида (1), к-рый сходится по мере к f(x).(для случая трнгонометрич. системы это утверждение было получено в 1947 Д. Е. Меньшовым). Этот результат теряет силу даже для случая конечных измеримых функций, если вместо сходимости по мере рассматривать сходимость почти всюду.