Ортомодулярная решетка

- решетка с нулем (0) и единицей (1), в к-рой для любого элемента асуществует ортодополнение [img: http://localhost:8080/file/041610-112.jpg], т. е. такой элемент, что [img: http://localhost:8080/file/041610-113.jpg] и выполняется ортомодулярный закон: [img: http://localhost:8080/file/041610-114.jpg] В О. р. исследовались в основном дистрибутивность н перспективность, неприводимость, модулярность пар. свойства центра и идеалов, коммутант и разрешимость, приложения к логике квантовой механики (см. [1], [2]). Если [img: http://localhost:8080/file/041610-115.jpg] - произвольная Неймана алгебра, то совокупность [img: http://localhost:8080/file/041610-116.jpg] всех ее проекций является полной О. р. При этом, если [img: http://localhost:8080/file/041610-117.jpg] - фактор, то на множестве [img: http://localhost:8080/file/041610-118.jpg] можно определить размерности, функцию. В зависимости от множества значений этой функции факторы делятся на типы [img: http://localhost:8080/file/041610-119.jpg] (классификация Муррея - Неймана, [4]). Было установлено, что решетки проекций факторов типа In и II1 являются непрерывными геометриями, т. 1) [img: http://localhost:8080/file/041610-120.jpg] для любого направленного множества индексов Dи такого множества элементов [img: http://localhost:8080/file/041610-121.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/041610-122.jpg] влечет [img: http://localhost:8080/file/041610-123.jpg]; 2) условие, двойственное к 1). Возникла задача построения абстрактной теории размерности в рамках такого класса решеток, к-рый включил бы в себя, кроме модулярных решеток проекций факторов типов In и II1 и немодулярные решетки проекций факторов остальных типов. Доказано (см. [5], [6]) существование функции размерности на полной О. р. с отношением эквивалентности, удовлетворяющим нек-рым дополнительным условиям. Этот класс решеток включает в себя и решетки проекций факторов, и непрерывные геометрии. О. р., являясь естественным обобщением решеток проекций факторов, в то же время составляют существенно более широкий класс, поскольку многие свойства решеток проекций неверны для произвольных О. р. Подобно тому как непрерывные геометрии координатизируются регулярными кольцами (см. [1]), О. р. могут быть координатизированы бэровскими [img: http://localhost:8080/file/041610-124.jpg] -полугруппами. Если полная О. р. модулярна, то она непрерывна (см. [7]). Существует модулярная решетка с ортодополнениями, пополнение сечениями к-рой не орто-модулярно (в то время как пополнение сечениями полумодулярной решетки с ортодополнениями полумодулярно, и решетка проекций алгебры Неймана полумодулярна).