Освещения задача

- задача определения минимального числа направлений пучков параллельных лучей или числа источников, освещающих всю границу выпуклого тела. Пусть К - выпуклое тело n-мерного линейного пространства [img: http://localhost:8080/file/041610-136.jpg], a bd Ки int К - соответственно граница и внутренность его, причем [img: http://localhost:8080/file/041610-137.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041610-138.jpg]. Наиболее известны следующие О. з. 1) Пусть l - нек-рое направление в пространстве Rn. Точка [img: http://localhost:8080/file/041610-139.jpg] наз. освещенной извне направлением l, если прямая, проходящая через х параллельно I, проходит через нек-рую точку [img: http://localhost:8080/file/041610-140.jpg] и направление вектора [img: http://localhost:8080/file/041610-141.jpg] совпадает с l. Ищется минимальное число с(К).направлений в пространстве [img: http://localhost:8080/file/041610-142.jpg], достаточное для освещения в атом смысле всего множества bd K. 2) Пусть z - нек-рая точка множества [img: http://localhost:8080/file/041610-143.jpg] Точка [img: http://localhost:8080/file/041610-144.jpg] Кназ. освещенной извне точкой zесли прямая, определяемая точками z и х, проходит через нек-рую точку [img: http://localhost:8080/file/041610-145.jpg] и векторы [img: http://localhost:8080/file/041610-146.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041610-147.jpg] одинаково направлены. Ищется минимальное число с' (К).точек из [img: http://localhost:8080/file/041610-148.jpg], достаточное для освещения в этом смысле всего множества bd К. 3) Пусть z - нек-рая точка множества bd К. Точка [img: http://localhost:8080/file/041610-149.jpg] наз. освещенной изнутри точкой [img: http://localhost:8080/file/041610-150.jpg], если прямая, определяемая точками z и х, проходит через нек-рую точку [img: http://localhost:8080/file/041610-151.jpg] и векторы [img: http://localhost:8080/file/041610-152.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041610-153.jpg] противоположно направлены. Ищется минимальное число р(К).точек из bd K, достаточное для освещения изнутри всего множества bd К. 4) Система точек [img: http://localhost:8080/file/041610-154.jpg] наз. фиксированной для К, если она обладает свойствами: a) Zдостаточна для освещения изнутри всего множества bd K; б) Zне обладает никаким собственным подмножеством, достаточным для освещения изнутри множества bd K. Ищется максимальное число р' (К).точек фиксированной системы для тела [img: http://localhost:8080/file/041610-155.jpg]. Задача 1) была поставлена в связи с Хадвигера гипотезой (см. [1]): минимальное число тел b(К), гомотетичных ограниченному Кс коэффициентом гомотетии k,0<k<1, достаточное для покрытия К, удовлетворяет неравенству [img: http://localhost:8080/file/041610-156.jpg], причем значение b(К)=2n характеризует параллелепипед. Для ограниченного [img: http://localhost:8080/file/041610-157.jpg]. Если Кнеограниченно, то [img: http://localhost:8080/file/041610-158.jpg] и существуют такие тела, что с(К)<b (К).или [img: http://localhost:8080/file/041610-159.jpg] (см. [1]). Задача 2) поставлена в связи с задачей 1). Для ограниченного [img: http://localhost:8080/file/041610-160.jpg] верно равенство с(К)=с' (К). Если же Кнеограниченно, то [img: http://localhost:8080/file/041610-161.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041610-162.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041610-163.jpg]. Число с' (К)для любого неограниченного [img: http://localhost:8080/file/041610-164.jpg] принимает одно из значений: [img: http://localhost:8080/file/041610-165.jpg] (см. [1]). Решение задачи 3) имеет вид: число р(К).определено тогда и только тогда, когда Котлично от конуса. В этом случае [img: http://localhost:8080/file/041610-166.jpg], причем р (K)=n+1 характеризует n-мерный симплекс пространства [img: http://localhost:8080/file/041610-167.jpg] (см. [1]). Для задачи 4) (см. [2]) предполагается, что при ограниченном [img: http://localhost:8080/file/041610-168.jpg] верно неравенство [img: http://localhost:8080/file/041610-169.jpg] Каждая из О. з. тесно связана с нек-рым специальным покрытием тела К(см. [1]).