Оснащенное гильбертово пространство

гильбертово пространство H с выделенным в нем линейным всюду плотным подмножеством [img: http://localhost:8080/file/041610-170.jpg], на к-ром задана структура топологического векторного пространства так, что вложение непрерывно. Это вложение порождает непрерывное вложение сопряженных пространств [img: http://localhost:8080/file/041610-171.jpg] и цепочку непрерывных вложений [img: http://localhost:8080/file/041610-172.jpg] (с помощью стандартного отождествления H'=H). Наиболее содержательным является случай, когда оснащение Ф - ядерное пространство. Здесь верно следующее усиление спектральной теоремы для самосопряженных операторов, действующих в Н:любой такой оператор А, непрерывно (в топологии Ф) переводящий Ф в себя, обладает полной системой обобщенных собственных функций { [img: http://localhost:8080/file/041610-173.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041610-174.jpg] } ([img: http://localhost:8080/file/041610-175.jpg] - нек-рое множество индексов), т. е. таких элементов [img: http://localhost:8080/file/041610-176.jpg], что для любого [img: http://localhost:8080/file/041610-177.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041610-178.jpg] причем множество значений функции [img: http://localhost:8080/file/041610-179.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041610-180.jpg] содержится в спектре оператора Аи имеет полную меру относительно спектральной меры [img: http://localhost:8080/file/041610-181.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041610-182.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041610-183.jpg], любого элемента [img: http://localhost:8080/file/041610-184.jpg]. Полнота системы означает, что [img: http://localhost:8080/file/041610-185.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041610-186.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/041610-187.jpg] хотя бы при одном [img: http://localhost:8080/file/041610-188.jpg]. Кроме того, для любого элемента [img: http://localhost:8080/file/041610-189.jpg] существует его разложение по системе обобщенных собственных функций [img: http://localhost:8080/file/041610-190.jpg], обобщающее известное разложение по базису собственных векторов для оператора с дискретным спектром. П р и м е р: разложение в интеграл Фурье [img: http://localhost:8080/file/041610-191.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041610-192.jpg] - система обобщенных собственных функций оператора дифференцирования, действующего в [img: http://localhost:8080/file/041610-193.jpg], возникающая при естественном оснащении этого пространства с помощью пространства Шварца [img: http://localhost:8080/file/041610-194.jpg]. Аналогичные утверждения верны и для унитарных операторов, действующих в О. г. п.