Особые показатели

линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений - величины, определяемые формулой: [img: http://localhost:8080/file/041613-44.jpg] (верхний особый показатель) или формулой [img: http://localhost:8080/file/041613-45.jpg] (нижний особый показатель), где [img: http://localhost:8080/file/041613-46.jpg] - Коши оператор системы [img: http://localhost:8080/file/041613-47.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041613-48.jpg] - отображение [img: http://localhost:8080/file/041613-49.jpg], суммируемое на каждом отрезке. О. п. могут равняться [img: http://localhost:8080/file/041613-50.jpg]; если для нек-рого T>0 [img: http://localhost:8080/file/041613-51.jpg] то О. п. суть числа. Для системы (1) с постоянными коэффициентами [img: http://localhost:8080/file/041613-52.jpg] О. п. [img: http://localhost:8080/file/041613-53.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041613-54.jpg] равны соответственно максимуму и минимуму действительных частей собственных значений оператора А(0). Для системы (1) с периодич. коэффициентами (A(t+T)=A(t).при всех [img: http://localhost:8080/file/041613-55.jpg] для нек-рого Т>0).О. п. [img: http://localhost:8080/file/041613-56.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041613-57.jpg] равны соответственно максимуму и минимуму логарифмов модулей мультипликаторов, деленных на период Т. Иногда О. п. наз. иначе, напр. генеральными показателями (см. [4]). Следующие определения эквивалентны приведенным выше: О. п. W0(A). равен точной нижней грани множества тех чисел а, для каждого из к-рых найдется число [img: http://localhost:8080/file/041613-58.jpg] такое, что для всякого решения [img: http://localhost:8080/file/041613-59.jpg] системы (1) выполнено неравенство [img: http://localhost:8080/file/041613-60.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/041613-61.jpg] О. п. [img: http://localhost:8080/file/041613-62.jpg] равен точной верхней грани множества тех чисел Р, для каждого из к-рых найдется число С b >0 такое, что для всякого решения [img: http://localhost:8080/file/041613-63.jpg] системы (1) выполнено неравенство [img: http://localhost:8080/file/041613-64.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/041613-65.jpg] Для О. п. и Ляпунова характеристических, показателей имеют место неравенства: [img: http://localhost:8080/file/041613-66.jpg] Для линейных систем с постоянными или с периодич. коэффициентами [img: http://localhost:8080/file/041613-67.jpg] но существуют системы, для к-рых соответствующие неравенства - строгие (см. Равномерная устойчивость). О. п. [img: http://localhost:8080/file/041613-68.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/041613-69.jpg]) как функция на пространстве систем (1) с ограниченными непрерывными коэффициентами (отображение [img: http://localhost:8080/file/041613-70.jpg] непрерывно и [img: http://localhost:8080/file/041613-71.jpg]), наделенном метрикой [img: http://localhost:8080/file/041613-72.jpg] полунепрерывна сверху (соответственно снизу), но не всюду непрерывна. Если отображение [img: http://localhost:8080/file/041613-73.jpg] равномерно непрерывно и [img: http://localhost:8080/file/041613-74.jpg] то сдвигов динамическая система [img: http://localhost:8080/file/041613-75.jpg] имеет инвариантные нормированные меры m1 и m2, сосредоточенные на замыкании траектории точки А, такие, что для почти всех [img: http://localhost:8080/file/041613-76.jpg] (в смысле меры m1).верхний О. п. системы [img: http://localhost:8080/file/041613-77.jpg] (2) равен се наибольшему (старшему) характеристик, показателю Ляпунова [img: http://localhost:8080/file/041613-78.jpg] и для почти всех [img: http://localhost:8080/file/041613-79.jpg] (в смысле меры m2) нижний О, п. системы (2) равен ее наименьшему характеристич. показателю Ляпунова [img: http://localhost:8080/file/041613-80.jpg] Для почти периодич. отображения [img: http://localhost:8080/file/041613-81.jpg] (см. Линейная система дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами).меры m1 и m2 идентичны и совпадают с той единственной нормированной инвариантной мерой, сосредоточенной на сужении динамич. системы сдвигов на замыкание траектории точки А, к-рая в этом случае имеется. Пусть динамич. система на гладком замкнутом п- мерном многообразии Vn задана гладким векторным полем. Тогда у этой системы найдутся нормированные инвариантные меры m1 и m2 такие, что для почти всякой (в смысле меры m1) точки [img: http://localhost:8080/file/041613-82.jpg] совпадают верхний О. п. и старший характеристич. показатель Ляпунова системы уравнений в вариациях вдоль траектории точки хи для почти всякой (в смысле меры m2) точки [img: http://localhost:8080/file/041613-83.jpg] совпадают нижний О. п. и наименьший характеристич. показатель Ляпунова системы уравнений в вариациях вдоль траектории точки х. Определения О. п., характеристич. показателей Ляпунова и т. п. сохраняют смысл для систем уравнений в вариациях гладких динамич. систем, заданных на любых гладких многообразиях. Система уравнений в вариациях такой динамич. системы вдоль траектории точки хможет быть записана в виде (1), напр. с помощью задания в касательном пространстве к Vn в каждой точке траектории точки хбазиса, полученного параллельным перенесением вдоль траектории точки х(в смысле римановой связности, индуцированной какой-либо гладкой римановой метрикой) нек-рого базиса касательного пространства к Vn в точке х.