Остроградского формула

.- формула интегрального исчисления функций многих переменных, устанавливающая связь между n-кратным интегралом по области и (п -1)-кратным интегралом но ее границе. Пусть функции Xi=Xi(x1,x2,..., х п).вместе со своими частными производными [img: http://localhost:8080/file/041613-107.jpg], i=1, 2,..., п, интегрируемы по Лебегу в ограниченной области [img: http://localhost:8080/file/041613-108.jpg], граница [img: http://localhost:8080/file/041613-109.jpg] к-рой является объединением конечного множества кусочно гладких (п-1)-мерных гиперповерхностей, ориентированных с помощью внешней нормали V. Тогда О. ф. имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041613-110.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/041613-111.jpg] - направляющие косинусы внешних нормалей v гиперповерхностей, составляющих границу [img: http://localhost:8080/file/041613-112.jpg] области G, то формула (1) может быть записана в виде [img: http://localhost:8080/file/041613-113.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041613-114.jpg] - элемент n-мерного объема в [img: http://localhost:8080/file/041613-115.jpg], a ds - алемент (n - 1)-мерного объема на [img: http://localhost:8080/file/041613-116.jpg]. В терминах векторного ноля [img: http://localhost:8080/file/041613-117.jpg] формулы (1) и (2) означают равенство интеграла от дивергенции этого поля по области G его потоку (ем. Поток векторного поля) через границу области G: [img: http://localhost:8080/file/041613-118.jpg] Для гладких функций О. ф. была впервые получена в трехмерном случае М. В. Остроградским в 1828 (опубл. в 1831, см. [1]). Па n-кратные интегралы в случае произвольного натурального n О. ф. была обобщена мм в 1834 (опубл. в 1838, см. [2]). С помощью этой формулы М. В. Остроградский нашел выражение производной по параметру от n-кратного интеграла с переменными пределами и получил формулу для вариации n-кратного интеграла; при n=3 для одного частного случая О. ф. была получена К. Гауссом (С. Gauss) в 1813, поэтому иногда О. ф. наз. также формулой Остроградского - Гаусса. Обобщением О. ф. является С такса формула для многообразий с краем.