Относительная гомологическая алгебра

- гомологическая алгебра, ассоциированная с парой абелевых категорий [img: http://localhost:8080/file/041614-57.jpg] и фиксированным функтором [img: http://localhost:8080/file/041614-58.jpg]. Функтор [img: http://localhost:8080/file/041614-59.jpg] предполагается аддитивным, точным и полным. Короткая точная после довательность объектов категории [img: http://localhost:8080/file/041614-60.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041614-61.jpg] наз. допустимой, если точная последовательность [img: http://localhost:8080/file/041614-62.jpg] расщепляется в категории [img: http://localhost:8080/file/041614-63.jpg]. Посредством класса [img: http://localhost:8080/file/041614-64.jpg] допустимых точных последовательностей определяется класс [img: http://localhost:8080/file/041614-65.jpg] -проективных (соответственно [img: http://localhost:8080/file/041614-66.jpg] -инъективных) объектов как класс таких объектов Р(соответственно Q), для к-рых функтор [img: http://localhost:8080/file/041614-67.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/041614-68.jpg]) точен на допустимых коротких точных последовательностях. Любом проективный объект Ркатегории [img: http://localhost:8080/file/041614-69.jpg] является [img: http://localhost:8080/file/041614-70.jpg] -проективным, это не означает, однако, что и категории [img: http://localhost:8080/file/041614-71.jpg] достаточно много относительно проективных объектов (т. е. что для любого объекта Аиз [img: http://localhost:8080/file/041614-72.jpg] существует допустимый эпиморфизм [img: http://localhost:8080/file/041614-73.jpg] нск-рого [img: http://localhost:8080/file/041614-74.jpg] - проективного объекта категории [img: http://localhost:8080/file/041614-75.jpg]). Если в категории [img: http://localhost:8080/file/041614-76.jpg] достаточно много [img: http://localhost:8080/file/041614-77.jpg] -проективных или [img: http://localhost:8080/file/041614-78.jpg] - инъективных объектов, то обычные конструкции гомологлч. алгебры позволяют строить в этой категории производные функторы, наз. относительными производными функторами. П р и м е р ы. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041614-79.jpg] - категория Д-модулей над ассоциативным кольцом R с единицей, [img: http://localhost:8080/file/041614-80.jpg] - категория множеств, [img: http://localhost:8080/file/041614-81.jpg] - функтор, "забывающий" структуру модуля. В этом случае все точные последовательности допустимы, и в результате получается "абсолютная" (т. е. обычная) гомологич. алгебра. Если G - группа, то каждый G-модуль является, в частности, абелевой группой. Если Нявляется алгеброй над коммутативным кольцом k, то каждый R-модуль, является k-модулем. Если Rи S - кольца и [img: http://localhost:8080/file/041614-82.jpg], то каждый R-модуль является S-модулем. Во всех этих случаях имеется функтор из одной абелевой категории в другую, определяющий относительные производные функторы.