Относительная система корней

связной редуктивной алгебраической группы G, определенной над полем k,- система [img: http://localhost:8080/file/041614-85.jpg] ненулевых весов присоединенного представления максимального k-расщепимого тора Sгруппы G в алгебре Ли g этой группы. Сами веса наз. корнями G относительно S. О. с. к. [img: http://localhost:8080/file/041614-86.jpg], рассматриваемая как подмножество своей линейной оболочки L в пространстве [img: http://localhost:8080/file/041614-87.jpg], где X (S) - группа рациональных характеров тора S, является корневой системой. Пусть N(S) - нормализатор, a Z(S).- централизатор Sв G. Тогда Z(S).является связной компонентой единицы группы N(S);конечная группа [img: http://localhost:8080/file/041614-88.jpg] наз. группой Вейля группы G над k, или относительной группой Вейля (о. г. В.). Присоединенное представление N(S) в g определяет линейное представление [img: http://localhost:8080/file/041614-89.jpg] в L. Это представление является точным и его образ есть Вейля группа системы корней [img: http://localhost:8080/file/041614-90.jpg], что позволяет отождествить эти две группы. Ввиду сопряженности над kмаксимальных k-расщепимых торов в G О. с. к. [img: http://localhost:8080/file/041614-91.jpg] и о. г. В. [img: http://localhost:8080/file/041614-92.jpg] не зависят, с точностью до изоморфизма, от выбора тора Sи часто обозначаются просто [img: http://localhost:8080/file/041614-93.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041614-94.jpg]. В случае, когда G расщепима над k, О. с. к. и о. г. В. совпадают соответственно с обычной (абсолютной) системой корней и группой Вейля группы G. Пусть g а - весовое относительно Sподпространство в [img: http://localhost:8080/file/041614-95.jpg], отвечающее корню [img: http://localhost:8080/file/041614-96.jpg]. Если G расщепима над k, то [img: http://localhost:8080/file/041614-97.jpg] для любого а и [img: http://localhost:8080/file/041614-98.jpg] - приведенная система корней; в общем случае это не так: [img: http://localhost:8080/file/041614-99.jpg] может быть неприведенной, а [img: http://localhost:8080/file/041614-100.jpg] может быть больше 1. О. с. к. [img: http://localhost:8080/file/041614-101.jpg] неприводима, если G проста над k. О. с. к. играет важную роль в описании структуры и в классификации полупростых алгебраич. групп над k. Пусть G - полупроста и Т - максимальный тор, определенный над kи содержащий S. Пусть X(S).и X(Т) - группы рациональных характеров торов S и Т с фиксированными согласованными отношениями порядка, D -- соответствующая система простых корней группы G относительно и D0- подсистема в D, состоящая из характеров, тривиальных на S. Пусть также Dk-- система простых корней в О. с. к. [img: http://localhost:8080/file/041614-102.jpg], определенная выбранным в X(S).отношением порядка; она состоит из сужений на Sхарактеров системы D. Группа Галуа [img: http://localhost:8080/file/041614-103.jpg] естественно действует на Д, и набор данных {D, D0, действие Г на D} наз. k- индексом полупростой группы G. Роль k-индекса объясняется следующей теоремой: всякая полупростая группа над kоднозначно с точностью до k-изоморфизма определяется своим классом относительно изоморфизма над ks, своим k-индексом и своим анизотропным ядром. О. с. к. [img: http://localhost:8080/file/041614-104.jpg] полностью определяется системой Dk и набором таких натуральных чисел [img: http://localhost:8080/file/041614-105.jpg] (равных 1 или 2), что [img: http://localhost:8080/file/041614-106.jpg], но [img: http://localhost:8080/file/041614-107.jpg]. В свою очередь, Dk и п a, [img: http://localhost:8080/file/041614-108.jpg], могут быть восстановлены по k-индексу. В частности, два элемента из [img: http://localhost:8080/file/041614-109.jpg] имеют одно и то же ограничение на Sтогда и только тогда, когда они лежат в одной орбите группы Г; это определяет-биекцию между Dk и множеством орбит группы Г в [img: http://localhost:8080/file/041614-110.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/041614-111.jpg] - соответствующая орбита и D(g) - любая связная компонента в [img: http://localhost:8080/file/041614-112.jpg], не все вершины к-poй лежат вD0, то ng есть сумма коэффициентов при корнях [img: http://localhost:8080/file/041614-113.jpg] в разложении старшего корня системы D(g) по простым корням. Если [img: http://localhost:8080/file/041614-114.jpg], то это О. с. к. естественно отождествляется с системой корней, а о. г. В.- с группой Вейля соответствующего симметрич. пространства.