Отражений группа

- дискретная группа преобразований, порождаемая отражениями относительно гиперплоскостей. Наиболее часто рассматриваются О. г., состоящие из движении односвязного полного риманова многообразия постоянной кривизны, т. е. евклидова пространства Е n, сферы Sn или пространства Лобачевского Ln. Истоками теории О. г. являются исследования правильных многогранников и правильных разбиений евклидовой плоскости и сферы ("орнаментов"). Во 2-й пол. 19 в. эти исследования были распространены на n-мерный случай И, В связи с задачами теории функции комплексного переменного, на плоскость Лобачевского; были также описаны правильные разбиения пространства Ln на правильные многогранники. Группа симметрии любого правильного многогранника, а также группа симметрии правильного разбиения пространства на правильные многогранники являются О. г. В 1934 были перечислены (см. [1]) все О. г. в En и Sn (последние можно рассматривать как частный случай О. г. в En+1). Еще в 1925-27 в работах Г. Вопля (Н.. Weyl) н Э. Картава (Е. Cartan) О. г. появились как Вейля группы полупростых групп Ли. Позднее было установлено, что группы Вейля - это в точности те О. г. в En, к-рые имеют единственную неподвижную точку н записываются в нек-ром базисе целочисленными матрицами, а аффинные группы Вейля - это все О. г. в Е п с ограниченным фундаментальным многогранником (см. Дискретная группа преобразований). Основные результаты теории групп отражении. Пусть Xn=Sn, En или Ln. Всякая О. г. в Xn допускает в качестве образующих отражения rt относительно гиперплоскостей Hi, [img: http://localhost:8080/file/041615-144.jpg], ограничивающих фундаментальный многогранник Р. Относительно этой системы образующих она является Кокстера группой с определяющими соотношениями (rirj)nij=P, где числа nij находятся следующим образом: если грани [img: http://localhost:8080/file/041615-145.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041615-146.jpg]. смежны и угол между ними равен aij то [img: http://localhost:8080/file/041615-147.jpg]; если они не смежны, то [img: http://localhost:8080/file/041615-148.jpg] (и тогда гиперплоскости Hi и Hj не пересекаются). Обратно, любой выпуклый многогранник в пространстве Xn, все двугранные углы к-рого суть целые части p, является фундаментальным многогранником группы, порожденной отражениями относительно ограничивающих его гиперплоскостей. Всякая О. г. в Е n является (как группа движений) прямым произведением тривиальной группы, действующей в евклидовом пространстве нек-рой размерности, и групп движений следующих двух типов: (I) конечная О. г., фундаментальный многогранник к-рой есть симплициальный конус, и (II) бесконечная О. г., фундаментальный многогранник к-рой есть симплекс. Группа типа (I) может рассматриваться как О. г. на сфере с центром в вершине фундаментального конуса; ее фундаментальным многогранником будет тогда сферич. симплекс. О. г. типа (I) однозначно определяется своей матрицей Кокстера, Поэтому классификация таких групп совпадает с классификацией конечных групп Кокстера. О. г. типа (II) определяется своей матрицей Кокстера с точностью до гомотетии. Классификация таких групп с точностью до гомотетии совпадает с классификацией неразложимых параболич. групп Кокстера. Всякая О. г. в Е n, имеющая ограниченный фундаментальный многогранник, является (как группа движений) прямым произведением групп тина (II). О. г. в Е п изучены значительно хуже. По многим причинам естественно выделить те из них, фундаментальный многогранник к-рьтх ограничен или выходит на абсолют лить в конечном числе точек (зто равносильно конечности объема). Ниже рассматриваются только такие группы. Они описаны более или менее явно только при n= 2, 3. О. г. в L2 определяются k-угольником с углами [img: http://localhost:8080/file/041616-1.jpg] (если вершина бесконечно удаленная, то считается, что угол при нeй paвен нулю). Многоугольник с заданными углами всегда существует и зависит от k-3 параметров. При [img: http://localhost:8080/file/041616-2.jpg] фундаментальный многогранник О. г. в Ln однозначно определяется своим комбинаторным строением и двугранными углами. Для п=3 получено исчерпывающее описание таких многогранников [5]ц, тем самым, О. г. Для [img: http://localhost:8080/file/041616-3.jpg] известны лишь примеры и нек-рые общие способы построения О. г. в Ln (см. [6], [7]). Неизвестно (1983), существуют ли О. г. в Ln с ограниченным фундаментальным многогранником при [img: http://localhost:8080/file/041616-4.jpg] и с фундаментальным многогранником конечного объема при [img: http://localhost:8080/file/041616-5.jpg] Наряду с О. г. в пространствах постоянной кривизны рассматриваются линейные О. г., действующие дискретно в открытом выпуклом конусе действительного векторного пространства. Это позволяет дать геометрия, реализацию всех групп Кокстера с конечным числом образующих (см. [3], [4]). Всякую конечную О. т. можно рассматривать как линейную группу. Конечные О. г. характеризуются среди всех конечных линейных групп тем, что алгебры инвариантных многочленов этих групп обладают алгебраически независимыми системами образующих [4]. Напр., для группы всех перестановок базисных векторов такими образующими будут элементарные сим-метрич. многочлены. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041616-6.jpg] - степени образующих инвариантов конечной О. г. G(п - размерность пространства); числа [img: http://localhost:8080/file/041616-7.jpg] наз. показателями группы G. Имеет место формула [img: http://localhost:8080/file/041616-8.jpg] где ck, - число элементов группы G, для к-рых пространство неподвижных точек имеет размерность п-k. В частности, [img: http://localhost:8080/file/041616-9.jpg] равно числу отражении в группе [img: http://localhost:8080/file/041616-10.jpg] равно порядку группы. Если группа Gнеприводима, то собственные значения ее элемента Киллинга - Кокстера (см. Кокстера группа). равны [img: http://localhost:8080/file/041616-11.jpg], где h - число Кокстера: [img: http://localhost:8080/file/041616-12.jpg] Утверждения предыдущего абзаца, за исключением последнего, сохраняют силу для линейных трупп над произвольным полем нулевой характеристики (см. (4)). Отражением в этом случае следует называть линейное преобразование, пространство неподвижных точек к-рого имеет размерность п-1. Перечислены [8] все конечные линейные О. г. над полем комплексных чисел. Найдены [9] конечные линейные О. г. над полями ненулевой характеристики.