Папперица уравнение

линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка класса Фукса, имеющее ровно три особые точки: [img: http://localhost:8080/file/041701-17.jpg] здесь а, b, с - попарно различные комплексные числа, a, a' (b, b' и g, g') - характеристич. показатели в особой точке z=а (соответственно z=bи z=с). П. у. однозначно определяется заданием особых точек и характеристич. показателей. Для решений П. у. (1) используется обозначение Римана: [img: http://localhost:8080/file/041701-18.jpg] Б. Риман исследовал [1] задачу: найти все многозначные аналитические в расширенной комплексной плоскости функции w(z).со следующими свойствами: 1) функция w(z).имеет ровно три особые точки а, b, с; 2) любые три ее ветви связаны линейным соотношением [img: http://localhost:8080/file/041701-19.jpg] с постоянными коэффициентами; 3) функция w(z).имеет простейшие особенности в точках a, b, с, а именно: в окрестности точки z=а существуют две ее ветви [img: http://localhost:8080/file/041701-20.jpg] такие, что [img: http://localhost:8080/file/041701-21.jpg] где jj(z), j=1, 2,- голоморфные в точке z=a функции; и аналогично для точек b, с. Б. Риман при нек-рых дополнительных предположениях относительно чисел a, a',..., g' показал, что все такие функции выражаются через гипергеометрич. функции и что w(z).удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению 2-го порядка с рациональными коэффициентами, но явно его не выписал (см. [1]). Это уравнение (уравнение (1)) было приведено Э. Папперицем [2]. Оно паз. также Р-уравнением Римана, уравнением Римана в форме Папперица, уравнением Римана, а его решения наз. Р-функциями. Основные свойства решений П. у. 1) П. у. инвариантно относительно дробно-линейных преобразований: если z1=(Az+B)/(Cz+D).отображает точки а, Ь, с в точки a1, bl, c1, то [img: http://localhost:8080/file/041701-22.jpg] 2) Преобразование [img: http://localhost:8080/file/041701-23.jpg] переводит П. у. в П. у. с теми же особыми точками, но с другими характеристич. показателями: [img: http://localhost:8080/file/041701-24.jpg] 3) Гипергеометрическое уравнение [img: http://localhost:8080/file/041701-25.jpg] есть частный случай П. у. и ему соответствует обозначение Римана [img: http://localhost:8080/file/041701-26.jpg] 4) Всякое решение П. у. выражается через гипергеометрич. функции: [img: http://localhost:8080/file/041701-27.jpg] (2) в предположении, что a-a' не есть целое отрицательное число. Если все разности a-a',b-b', g-g'- нецелые числа, то, переставляя в (2) местами a и a' или g и g', получают четыре решения П. у. Кроме того, П. у. не меняется, если переставлять местами тройки (a, a', а),(b, b', b), (g, g', с); все эти перестановки приводят к 24 частным решениям П. у. (1), к-рые впервые были получены Э. Куммером [5].