Параболического уравнения метод

- метод приближенного решения высокочастотных дифракционных задач (см. Дифракции математическая теория}. Как правило, к П. у. м. приходится прибегать для нахождения волнового ноля в тех областях, где лучевой метод применять нельзя из-за того, что иоле лучей теряет в том или ином смысле регулярность. Пусть, напр., поставлена задача о падении плоской волны на идеально отражающее выпуклое тело. Волновой процесс описывается уравнением Гельмгольца [img: http://localhost:8080/file/041703-1.jpg] Здесь точка (х, у).пробегает внешность ограниченной выпуклой области W, на границе к-рой выполняется краевое условие Дирихле [img: http://localhost:8080/file/041703-2.jpg]. Предполагается, что [img: http://localhost:8080/file/041703-3.jpg] и имеет всюду положительную кривизну. Решение ипредставимо в виде [img: http://localhost:8080/file/041703-4.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041703-5.jpg] удовлетворяет излучения условиям. Решение такой задачи существует и единственно. В высокочастотном случае (k"велико") важно построить формальное коротковолновое решение этой задачи (т. е., грубо говоря, разложение, формально удовлетворяющее всем условиям задачи, достаточно далекие члены к-рого имеют сколь угодно высокий порядок малости при [img: http://localhost:8080/file/041703-6.jpg]). Можно показать, что в рассматриваемом случав формальное решение будет асимитотич. разложением классич. решения. Лучевой метод позволяет построить искомое коротковолновое разложение всюду, кроме области тени (см. рис.). Выражение для волнового ноля, построенное с помощью лучевого метода, теряет гладкость на границе тень-свет (полупрямые ОА и О'А' на рис.). В окрестности ОА (и О'А').коротковолновая асимптотика волнового поля уже не выражается лучевыми формулами. Окрестности ОА (и О'А'). наз. обычно полутенью. [img: http://localhost:8080/file/041703-7.jpg] Ключевым моментом при построении формального решения поставленной выше задачи является рассмотрение окрестности точек касания Ои О' лучей падающей волны и кривой [img: http://localhost:8080/file/041703-8.jpg]. Точка Опринята за начало координат, положительная часть оси Ох отделяет область тени от освещенной области. Пусть в окрестности Овведены новые координаты s, п. Точка [img: http://localhost:8080/file/041703-9.jpg] характеризуется ее расстоянием вдоль Sот О. Считается, что s > 0 (соответственно s< 0) в области тени (соответственно в освещенной области). Если [img: http://localhost:8080/file/041703-10.jpg], то точка Мхарактеризуется ее расстоянием n от Sи координатой sпроекции Мна S. В координатах s, n уравнение Гельмгольца имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041703-11.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/041703-12.jpg] - радиус кривизны Sв точке s). Используя ряд Маклорена для [img: http://localhost:8080/file/041703-13.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/041703-14.jpg] можно заменить все коэффициенты уравнения (2) их формальными разложениями по степеням, s и n. В растянутых координатах [img: http://localhost:8080/file/041703-15.jpg] полагая и уравнении (2) [img: http://localhost:8080/file/041703-16.jpg] и приравнивая нулю коэффициенты при последовательных степенях [img: http://localhost:8080/file/041703-17.jpg], приходят к типичной для метода пограничного слоя цепочке рекуррентных уравнений [img: http://localhost:8080/file/041703-18.jpg] Здесь первое уравнение и есть "параболическое" уравнение, давшее название П. у. м.: [img: http://localhost:8080/file/041703-19.jpg] По существу уравнение (4) является уравнением типа Шрёдингера. В операторах [img: http://localhost:8080/file/041703-20.jpg] коэффициенты - полиномы от s и v. Для формального выполнения краевого условия [img: http://localhost:8080/file/041703-21.jpg] достаточно потребовать, чтобы [img: http://localhost:8080/file/041703-22.jpg]. Роль других краевых условий играет требование, чтобы при больших [img: http://localhost:8080/file/041703-23.jpg], ряд (3) формально переходил бы в разложение лучевого метода. Для [img: http://localhost:8080/file/041703-24.jpg] можно вывести явную формулу (т. н. формулу Фока), имеющую вид интеграла Фурье [img: http://localhost:8080/file/041703-25.jpg] где Ф сравнительно просто выражается через функции Эйри. Методика склеивания (сращивания) асимптотич. разложений дает возможность получить формулы для волнового поля по всей области тени и полутени. В случае волн соскальзывания и шепчущей галереи выводятся соответствующие "параболические" уравнения и их решения выражаются через функции Эйри. Развитие теории лазеров привело к необходимости рассматривать волны, сосредоточенные в окрестности изолированных лучей. Выделяя соответствующий фазовый множитель и проводя далее построения, аналогичные построениям метода пограничного слоя, приходят к "параболическому" уравнению, через решение к-рого выражается в первом приближении волновое поле. В этом случае "параболическое" уравнение будет уравнением Шрёдингера с квадратичным потенциалом. П. у. м. находит применение также при расчете волнового поля в световодах, в статистически неоднородных средах и во многих др. задачах. Аналоги П. у. м. используются в теории нелинейных волн.