Параметра вариации метод

- метод приближенного решения нелинейных (и линейных) функциональных и операторных уравнений в банаховых пространствах [img: http://localhost:8080/file/041704-15.jpg], а также для качественных исследований. П. в. м. состоит в том, что уравнение Р(х)=0, где оператор Р(х).непрерывно дифференцируем по Фреше до нужного порядка, или нек-рый нелинейный функционал Ф(х), связанный с решением лтого уравнения, обобщаются путем введения вспомогательного числового (или общего функционального) параметра l, принимающего значения на конечном или бесконечном промежутке [img: http://localhost:8080/file/041704-16.jpg], так: [img: http://localhost:8080/file/041704-17.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041704-18.jpg],- оператор со значениями в Y, так что Р(х)=0 получается при [img: http://localhost:8080/file/041704-19.jpg], а уравнение [img: http://localhost:8080/file/041704-20.jpg] легко разрешается или известно его решение x0. При этом предполагается, что оператор [img: http://localhost:8080/file/041704-21.jpg] непрерывно дифференцируем (в смысле Фрете) по хи l, т. е. существуют непрерывные частные производные [img: http://localhost:8080/file/041704-22.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041704-23.jpg], и что существует непрерывный оператор [img: http://localhost:8080/file/041704-24.jpg] из Yв X. Для построения решения [img: http://localhost:8080/file/041704-25.jpg] уравнения [img: http://localhost:8080/file/041704-26.jpg] на всем интервале l0 [img: http://localhost:8080/file/041704-27.jpg] l [img: http://localhost:8080/file/041704-28.jpg] l* строится соответствующая дифференциальная задача (задача Коши) в предположении, что [img: http://localhost:8080/file/041704-29.jpg] непрерывно дифференцируемая функция со значениями в X, определяемая этим уравнением: [img: http://localhost:8080/file/041704-30.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/041704-31.jpg] Интервал [img: http://localhost:8080/file/041704-32.jpg] разбивается точками [img: http://localhost:8080/file/041704-33.jpg] <. [img: http://localhost:8080/file/041704-34.jpg] на более мелкие подинтервалы длины [img: http://localhost:8080/file/041704-35.jpg], k=1,2,..., п, и к задаче Коши (2) (или (1)) применяются методы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с шагом [img: http://localhost:8080/file/041704-36.jpg] (или несколько таких методов). В результате для построения решения х(l) уравнения F(x, А,)=0 получаются П. в. м. соответствующих типов. Построенное значение х(l*).будет решением уравнения Р(x)=0. Решение на каждом шаге линейных относительно [img: http://localhost:8080/file/041704-37.jpg] задач вида (1) или обращение линейных операторов [img: http://localhost:8080/file/041704-38.jpg] в (2), или последовательная аппроксимация обратного оператора [img: http://localhost:8080/file/041704-39.jpg] проводятся различными методами или опять-таки П. в. м. Шаги [img: http://localhost:8080/file/041704-40.jpg] выбираются различными способами, напр. из условия минимума нормы невязки [img: http://localhost:8080/file/041704-41.jpg] как функции многих, вообще говоря, переменных. При этом эффективным является также совместный выбор [img: http://localhost:8080/file/041704-42.jpg] и свободных параметров метода численного интегрирования, напр. Рунге- Кутта методаs-ro порядка точности, использование корней полиномов Чебыптева и близких к ним и др. Задача Коши (2) служит не только средством для определения приближенного решения рассматриваемого уравнения, но и для доказательства существования самого решения. Изучен ряд различных способов введения параметра l. В качестве числового параметра l, может быть использован также и один из естественных параметров, содержащихся в рассматриваемой задаче. В зависимости от способа введения параметра lП. в. м. является прямым или итерационным методом. Совместное применение прямого и итерационного методов наз. комбинированным П. в. м. Напр., итерационный метод типа усовершенствованного метода Эйлера - Коши с шагом [img: http://localhost:8080/file/041704-43.jpg] (при F(x,l)=P(x).(1-l)Р(х 0),l=0 и l*=1).является методом 3-го порядка точности и имеет следующий вид: [img: http://localhost:8080/file/041704-44.jpg] Каждый метод численного интегрирования порождает свой итерационный П. в. м. высокого порядка точности, причем без привлечения производных Р(х).порядка выше первой. Использование методов численного интегрирования в прямом П. в. м. совместно с корректировкой результатов после каждого шага с помощью итерационного П. в. м. (комбинированный П. в. м.) представляет собой один из наиболее эффективных методов решения нелинейных задач. П. в. м. достаточно хорошо разработан и исследован для широкого класса задач. Первоначально он был предложен для систем алгебраич. и трансцендентных уравнений, интегральных уравнений, дифференциальных уравнений обыкновенных и с частными производными, а затем для решения более общих нелинейных и операторных уравнений. Изучены условия, при к-рых гарантируется разрешимость уравнения Р(х)=0 и возможность построения его решения интегрированием задачи Коши (2) на интервале [img: http://localhost:8080/file/041704-45.jpg] и установления области его расположения. Изучены условия сходимости и даны, оценки погрешности. Исследованы также вопросы применения П. в. м. для обращения и псевдообращения линейных операторов, построения псевдорешений (и решений) линейных функциональных уравнений с минимальным уклонением по норме (в заданном подпространстве) от начального значения, суммирования операторных рядов и построения нек-рых классов проекторов, определения начальных приближений для итерационных процессов, решения операторных дифференциальных уравнений и задач линейной алгебры, для доказательства разрешимости нелинейных систем, связанных с вариационными задачами, и построения их решений, минимизации функционалов и многих других. Изучены обширные классы эффективных модификаций П. в. м., в том числе и с последовательной аппроксимацией обратного оператора [img: http://localhost:8080/file/041704-46.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/041704-47.jpg]. Изучены также широкие классы задач ветвления и нелинейные задачи на собственные значения. (Впрочем, случай ветвления может быть блокирован другим способом введения параметра lили путем введения дополнительного параметра т.) П. в. м. исследован также как метод "градиентного" типа, а также без предположения существования Г(х). См. также Продолжения по параметру метод.