Параметрического резонанса математическая теория

- раздел теории обыкновенных дифференциальных уравнений, изучающий явление па-раметрич. резонанса. Пусть S- нек-рая динамич. система, способная совершать лишь колебательные движения и описываемая гамильтоновой системой линейной (невозмущенным уравнением) [img: http://localhost:8080/file/041704-117.jpg] c постоянным действительным гамильтонианом H0. Таким образом, [img: http://localhost:8080/file/041704-118.jpg] - матрица [img: http://localhost:8080/file/041704-119.jpg] приводится к диагональному виду с чисто мнимыми элементами [img: http://localhost:8080/file/041704-120.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041704-121.jpg] - собственные частоты системы. Пусть нек-рые параметры системы Sначинают периодически изменяться с частотой [img: http://localhost:8080/file/041704-122.jpg] и малыми амплитудами, значения к-рых определяются малым параметром [img: http://localhost:8080/file/041704-123.jpg] Если возбуждения не выводят из класса линейных га-мильтоновых систем, то движение системы Sбудет описываться возмущенным уравнением [img: http://localhost:8080/file/041704-124.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041704-125.jpg] j=1, 2,..., суть кусочно непрерывные, интегрируемые в [img: http://localhost:8080/file/041704-126.jpg] матрицы-функции, и ряд в правой части (1) сходится при [img: http://localhost:8080/file/041704-127.jpg], где r0 не зависит от t. Возникновение неограниченно возрастающих колебаний системы Sпри сколь угодно малом периодич. возмущении нек-рых ее параметров наз. параметрическим резонансом. Параметрич. резонанс имеет две существенные особенности: 1) спектр частот, при к-рых возникают неограниченно возрастающие колебания, не является точечным, а состоит из совокупности малых интервалов, длины к-рых зависят от амплитуды возмущений (т. е. от e) и к-рые стягиваются в точку при [img: http://localhost:8080/file/041704-128.jpg]; значения частот, к к-рым стягиваются эти интервалы, наз. критическими; 2) колебания нарастают не по степенному, а по экспоненциальному закону. Этим параметрич. резонанс намного "опаснее" (или "полезнее", в зависимости от задачи) обычного резонанса. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041704-129.jpg] - собственные значения 1-го рода, перенумерованные так, что [img: http://localhost:8080/file/041704-130.jpg] Тогда критическими могут быть лишь частоты вида [img: http://localhost:8080/file/041704-131.jpg] Пусть собственные векторы fv матрицы [img: http://localhost:8080/file/041704-132.jpg], для к-рых [img: http://localhost:8080/file/041704-133.jpg] нормированы так, что [img: http://localhost:8080/file/041704-134.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041704-135.jpg] - символ Кронекера, а [img: http://localhost:8080/file/041704-136.jpg] Тогда области неустойчивости в первом приближении по [img: http://localhost:8080/file/041704-137.jpg] определяются неравенствами [img: http://localhost:8080/file/041704-138.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041704-139.jpg] Если j=h, то область неустойчивости отвечает основному резонансу, при [img: http://localhost:8080/file/041704-140.jpg] - комбинационному резонансу. Величина [img: http://localhost:8080/file/041704-141.jpg] характеризует "степень опасности" критич. частоты [img: http://localhost:8080/file/041704-142.jpg] чем больше эта величина, тем шире "клинышек" неустойчивости (3) с острием в точке [img: http://localhost:8080/file/041704-143.jpg]. Установлена аналитич. ависимость границ областей неустойчивости от параметра е и получены аффективные формулы для вычисления областей (3) во втором приближении (см. [3], [4]). В часто встречающемся в приложениях случае, когда возмущенная система Sописывается векторным уравнением 2-го порядка [img: http://localhost:8080/file/041704-144.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041704-145.jpg] собственные векторы и собственные значения (квадраты частот невозмущенной системы) матрицы Р 0 определяют формулами [img: http://localhost:8080/file/041704-146.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/041704-147.jpg] Тогда формулы (2) и (4) примут вид [img: http://localhost:8080/file/041704-148.jpg] соответственно. В частности, в базисе et,..., ek, где Р 0 диагональна: [img: http://localhost:8080/file/041704-149.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041704-150.jpg] имеет место: [img: http://localhost:8080/file/041704-151.jpg] и, следовательно (см. [5]): [img: http://localhost:8080/file/041704-152.jpg] Рассмотрен случай нелинейной зависимости коэффициентов уравнений (1) и (5) от параметра [img: http://localhost:8080/file/041704-153.jpg] (см. [4]). Изучен параметрич. резонанс в линейных, системах, близких к гамильтоновым (см. [6]). Здесь областям основного резонанса предшествуют области главного резонанса, а наряду с областями комбинационного резонанса появляются области комбинационно-разностного резонанса. Для параметрич. резонанса в линейных распределенных системах (см. [7]) получен ряд аналогичных результатов для операторных уравнений (1) в гильбертовом пространстве. Исследовался параметрич. резонанс для нек-рых классов систем с конечным числом степеней свободы, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями (см. [8]).