Параметрическое представление

в теории однолистных функций - представление однолистных функций, осуществляющих конформное отображение плоских областей на области канонич. вида (напр., на круг с концентрич. разрезами); оно возникает обычно следующим образом. Выбирается однопараметрич. семейство областей Qt, [img: http://localhost:8080/file/041704-154.jpg], вложенных друг в друга, [img: http://localhost:8080/file/041704-155.jpg] Для области Q0 предполагается известным ее конформное отображение [img: http://localhost:8080/file/041704-156.jpg] на нек-рую канонич. область В 0. По известному отображению [img: http://localhost:8080/file/041704-157.jpg] области [img: http://localhost:8080/file/041704-158.jpg] на область канонич. вида строится такое же отображение [img: http://localhost:8080/file/041704-159.jpg] для области [img: http://localhost:8080/file/041704-160.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041704-161.jpg] и мало. При непрерывном изменении параметра tна этом пути возникают дифференциальные уравнения, наиболее известными из к-рых являются Лёвнера уравнение и уравнение Лёвнера - Куфарева. В дискретном случае - для сеточных областей Qt и натурального параметра t - переход от отображения [img: http://localhost:8080/file/041704-162.jpg] к отображению [img: http://localhost:8080/file/041704-163.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041704-164.jpg], осуществляется по рекуррентным формулам. Источником упомянутых формул и уравнений служит обычно формула Шварца (см. [1] с. 92) и ее обобщения (см. [2]). Не менее важным источником П. п. служат вариации Адамара (см. [3], [4]) для функций Грина [img: http://localhost:8080/file/041704-165.jpg], указанного выше семейства областей. Метод Адамара наз. также методом инвариантного погружения (см. [5]) для эллиптических дифференциальных уравнений. Ниже показана связь П. п., вариаций Адамара и инвариантного погружения в простейшем (дискретном) случае. Пусть Q - нек-рый набор целых комплексных чисел (сеточная область) и функция Грина [img: http://localhost:8080/file/041704-166.jpg] - экстремаль функционала Дирихле-Дугласа [img: http://localhost:8080/file/041704-167.jpg] в классе П 0 всех действительных на Qфункций g(z). Здесь [img: http://localhost:8080/file/041704-168.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041704-169.jpg] (1) [img: http://localhost:8080/file/041704-170.jpg] N- натуральное число, [img: http://localhost:8080/file/041704-171.jpg] - символ Кронекера и zt=(kt, zt) t=0,1,..., Т-1,- нек-рый набор пар чисел; {zj|t=l,...,Т}- граница области Qt, kt=0 или 1. Нахождение экстремума функционала It(g) - задача квадратичного программирования. Сравнение ее решений при tи t+1 дает основную формулу инвариантного погружения (вариацию Адамара): [img: http://localhost:8080/file/041704-172.jpg] (2) где [img: http://localhost:8080/file/041704-173.jpg] символ [img: http://localhost:8080/file/041704-174.jpg] означает разностные операторы (1) по второму аргументу функции Грина. Зная функцию [img: http://localhost:8080/file/041704-175.jpg], можно шаг за шагом (рекуррентно) получить по формуле (2) все функции [img: http://localhost:8080/file/041705-1.jpg]. Достроив функцию Грина до сеточно аналитич. ции [img: http://localhost:8080/file/041705-2.jpg] согласно уравнениям типа Коши - Римана [img: http://localhost:8080/file/041705-3.jpg] получают однолистное сеточно-квазиконформное отображение [img: http://localhost:8080/file/041705-4.jpg] области [img: http://localhost:8080/file/041705-5.jpg] и единичный круг. Ближайшим к началу координат будет образ точки z'. В пределе при [img: http://localhost:8080/file/041705-6.jpg] отображение сеточно-конформно и образом области [img: http://localhost:8080/file/041705-7.jpg] служит круг с концентрич. разрезами. Получен непрерывный аналог формулы (2) (см. [6]). В случае, когда все области [img: http://localhost:8080/file/041705-8.jpg] односвязны и канонич. областью служит единичный круг В, удается, используя дробно-линейные автоморфизмы круга В, представить функцию Грина в явном виде [img: http://localhost:8080/file/041705-9.jpg] через функцию ft(z), отображающую Qt на В с нормировкой [img: http://localhost:8080/file/041705-10.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/041705-11.jpg] В терминах отображения w=ft(z) вариация Адамара сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению (Лёвнера). По сравнению с вариацией Адамара это уравнение значительно проще, однако информация о границе области [img: http://localhost:8080/file/041705-12.jpg] представлена в нем неявно - через управляющий параметр [img: http://localhost:8080/file/041705-13.jpg], поскольку функция [img: http://localhost:8080/file/041705-14.jpg] заранее неизвестна. Тем не менее уравнение Лёвнера - основной инструмент П. п. Были рассмотрены более общие однопараметрич. семейства областей [img: http://localhost:8080/file/041705-15.jpg], не обязательно вложенных друг в друга (см. [7]). Возникающие при таких П. п. уравнения наз. уравнениями Куфарева - Лёвнера. Существуют также модификации уравнений Лёвнера и Куфарева - Лёвнера на те случаи, когда области [img: http://localhost:8080/file/041705-16.jpg] обладают различного рода симметриями или иными геометрич. особенностями (см. [1]).