Пелля уравнение

- диофантово уравнение вида [img: http://localhost:8080/file/041706-74.jpg] (1) а также более общее уравнение [img: http://localhost:8080/file/041706-75.jpg] (2) где [img: http://localhost:8080/file/041706-76.jpg] - натуральное, [img: http://localhost:8080/file/041706-77.jpg] - иррациональное число, с - целое, неизвестные хи у - целые числа. Если Ps/Qs, s=0,1,2,...,- подходящие дроби разложения [img: http://localhost:8080/file/041706-78.jpg] в цепную дробь с периодом k, то положительные решения уравнения (1) имеют вид [img: http://localhost:8080/file/041706-79.jpg] где п - любое натуральное число такое, что kn четно. Все решения уравнения (1) получаются из формулы [img: http://localhost:8080/file/041706-80.jpg] где п - любое целое, а (х 0, у 0).решение с наименьшими положительными значениями неизвестных. Общее уравнение (2) либо совсем не имеет решений, либо - бесконечно много. При с=-1 решения существуют тогда и только тогда, когда kнечетпо. При с=4 уравнение (2) всегда имеет решения. С помощью решений П. у. при [img: http://localhost:8080/file/041706-81.jpg] находятся единицы квадратичного поля [img: http://localhost:8080/file/041706-82.jpg]. Решения П. у. используются при нахождении автоморфизмов бинарных квадратичных форм [img: http://localhost:8080/file/041706-83.jpg]; они позволяют по одному решению диофантова уравнения [img: http://localhost:8080/file/041706-84.jpg] получить бесконечное множество решений. Уравнение (1) изучалось У. Броункером (W. Brouncker, 1657), П. Ферма (P. Fermat) и Дж. Валлисом (J. Wallis). Л. Эйлер (L. Euler) по недоразумению связал его с именем Дж. Пелля (J. Pell).