Перевала метод

- метод вычисления асимптотики интегралов вида [img: http://localhost:8080/file/041707-1.jpg] (*) где [img: http://localhost:8080/file/041707-2.jpg] - большой параметр, у - контур в комплексной плоскости z, функции f(z).и S(z) голоморфны в области D, содержащей у. Нули функции S'(z) наз. точками перевала функции S(z); точка перевала - седловая точка поверхности U== Re S(x+y). Суть П. м. состоит в следующем. Контур g деформируется в контур [img: http://localhost:8080/file/041707-3.jpg] с теми же концами, лежащий в Dи такой, что [img: http://localhost:8080/file/041707-4.jpg] достигается только в точках перевала или на концах [img: http://localhost:8080/file/041707-5.jpg] (перевальный контур). Асимптотика интеграла (*) по перевальному контуру вычисляется с помощью Лапласа метода и равна сумме вкладов от указанных точек максимума. Вклад [img: http://localhost:8080/file/041707-6.jpg] от точки z0 - это интеграл вида (*), взятый по малой дуге контура [img: http://localhost:8080/file/041707-7.jpg], содержащей точку z0. Если z0 - внутренняя точка контура [img: http://localhost:8080/file/041707-8.jpg] - точка перевала и [img: http://localhost:8080/file/041707-9.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/041707-10.jpg] Перевальный контур обладает минимаксным свойством: на нем достигается [img: http://localhost:8080/file/041707-11.jpg] где минимум берется по всем контурам [img: http://localhost:8080/file/041707-12.jpg], лежащим в Dи имеющим те же концы, что и g. Основная трудность при применении П. м.- отбор точек перевала, т. е. выбор перевального контура [img: http://localhost:8080/file/041707-13.jpg], отвечающего g. П. м. восходит к П. Дебаю [1]; идеи этого метода были высказаны ранее Б. Риманом (см. [2]). Вычисление вкладов от точек перевала и от концов контура см. в [3] - [9]. П. м.- по существу единственный метод, позволяющий вычислять асимптотику интегралов вида (*). С его помощью вычислены асимптотики преобразований Лапласа, Фурье, Меллина, экспоненты от полинома, многих специальных функций. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041707-14.jpg] - ограниченное многообразие с краем размерности пи класса [img: http://localhost:8080/file/041707-15.jpg], функции f(z), S(z).голоморфны в нек-рой области D, содержащей g, и dz= [img: http://localhost:8080/file/041707-16.jpg]. Пусть достигается только в одной точке z0, к-рая [img: http://localhost:8080/file/041707-17.jpg] является внутренней точкой g и невырожденной точкой перевала функции S(z), т. е. [img: http://localhost:8080/file/041707-18.jpg]. Тогда вклад от z0 равен [img: http://localhost:8080/file/041707-19.jpg]