Переходные вероятности

- вероятности перехода Маркова цепи [img: http://localhost:8080/file/041709-29.jpg]. на отрезке времени [s, t]из состояния iв состояние j: [img: http://localhost:8080/file/041709-30.jpg] Ввиду основного свойства цепи Маркова для любых состояний [img: http://localhost:8080/file/041709-31.jpg] (где S - множество всех состояний цепи) и любых s<t<u [img: http://localhost:8080/file/041709-32.jpg] Обычно рассматриваются однородные цепи Маркова, для к-рых П. в. pij(s, t).зависят от длины отрезка [s, t], но не от его положения на оси времени: [img: http://localhost:8080/file/041709-33.jpg] Для любых состояний i, j однородной цепи Маркова с дискретным временем последовательность pij(n).сходится по Чезаро, т. е. существует [img: http://localhost:8080/file/041709-34.jpg] При нек-рых дополнительных условиях (а также для цепей с непрерывным временем) пределы существуют и в обычном смысле. См. Маркова цепь эргодическая, Маркова цепи положительный класс состояний. П. в. pij(t).цепи Маркова с дискретным временем определяются значениями [img: http://localhost:8080/file/041709-35.jpg] для любых [img: http://localhost:8080/file/041709-36.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041709-37.jpg] В случае цепей Маркова с непрерывным временем обычно предполагается, что П. в. удовлетворяют дополнительным условиям: все pij(t).измеримы как функции [img: http://localhost:8080/file/041709-38.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041709-39.jpg] При этих предположениях существуют плотности вероятностей перехода [img: http://localhost:8080/file/041709-40.jpg] (1) если все [img: http://localhost:8080/file/041709-41.jpg] конечны и [img: http://localhost:8080/file/041709-42.jpg] то П. в. pij(t) удовлетворяют системам дифференциальных уравнений Колмогорова - Чепмена [img: http://localhost:8080/file/041709-43.jpg] (2) с начальными условиями [img: http://localhost:8080/file/041709-44.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041709-45.jpg] (см. также Колмогорова уравнение, Колмогорова - Чепмена уравнение). При задании цепи Маркова плотностями перехода (1) ее П. в. pij(t).удовлетворяют условиям [img: http://localhost:8080/file/041709-46.jpg] цепи, для к-рых [img: http://localhost:8080/file/041709-47.jpg] при нек-рых [img: http://localhost:8080/file/041709-48.jpg] и t>0, наз. нерегулярными (тогда имеет место неединственность решения систем (2)); если [img: http://localhost:8080/file/041709-49.jpg] =1 для всех [img: http://localhost:8080/file/041709-50.jpg] и t>0, то цепь наз. регулярной. Пример. Цепь Маркова x(t). с множеством состояний {0, 1,...} и плотностями перехода [img: http://localhost:8080/file/041709-51.jpg] (т. н, процесс чистого размножения) нерегулярна тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/041709-52.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/041709-53.jpg] тогда [img: http://localhost:8080/file/041709-54.jpg] и при [img: http://localhost:8080/file/041709-55.jpg] имеет место [img: http://localhost:8080/file/041709-56.jpg], т. е. траектория цепи x (t)."с вероятностью 1 за конечное время уходит в бесконечность" (см. также Ветвящихся процессов регулярность).