Переходных операторов полугруппа

полугруппа операторов, порождаемых переходной функцией марковского процесса. По переходной функции P(t, х, А).однородного марковского процесса Х=(х t, [img: http://localhost:8080/file/041709-65.jpg]) в фазовом пространстве [img: http://localhost:8080/file/041709-66.jpg] можно построить нек-рые полугруппы линейных операторов Pt, действующих в том или ином банаховом пространстве [img: http://localhost:8080/file/041709-67.jpg] (см., напр., [1]). Чаще всего в роли [img: http://localhost:8080/file/041709-68.jpg] берут пространство [img: http://localhost:8080/file/041709-69.jpg] ограниченных действительных функций f на Ес равномерной нормой (а для феллеровского процесса X- пространство [img: http://localhost:8080/file/041709-70.jpg] непрерывных функций с той же нормой) или пространство V(Е).конечных счетно аддитивных функций j на [img: http://localhost:8080/file/041709-71.jpg] с полной вариацией в качестве нормы. В первых двух случаях полагают [img: http://localhost:8080/file/041709-72.jpg] в третьем [img: http://localhost:8080/file/041709-73.jpg] (здесь f и j принадлежат соответствующим пространствам, [img: http://localhost:8080/file/041709-74.jpg]). Во всех этих случаях выполнено полугрупповое свойство: [img: http://localhost:8080/file/041709-75.jpg], и любая из трех полугрупп {Р t} наз. полугруппой переходных операторов. В дальнейшем речь идет только о первом случае. Инфинитезимальный оператор Аполугруппы {Pt} (он же - инфинитезимальный оператор процесса) определяется обычным образом: [img: http://localhost:8080/file/041709-76.jpg] для всех тех [img: http://localhost:8080/file/041709-77.jpg], для к-рых указанный предел существует как предел в [img: http://localhost:8080/file/041709-78.jpg]. Предполагая, что P(t, х, А).при [img: http://localhost:8080/file/041709-79.jpg] является измеримой функцией пары переменных (t, х), вводят резольвенту Ra процесса X,a>0: [img: http://localhost:8080/file/041709-80.jpg] (*) Если [img: http://localhost:8080/file/041709-81.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041709-82.jpg], то Ag=ag-f, где g=Raf. При определенных предположениях интеграл (*) существует и при a=0, причем g=R0f удовлетворяет "уравнению Пуассона" Ag = -f (но этой причине, в частности, R0f наз. потенциалом функции f) Знание инфинитезимального оператора позволяет найти важные характеристики исходного процесса; более того, вопросы классификации марковских процессов сводятся к описанию соответствующих им инфинитезимальных операторов (см. [2], [3]). Немаловажно и то обстоятельство, что инфинитезимальный оператор входит в уравнения, позволяющие находить средние значения различных функционалов от процесса. Так, при нек-рых предположениях функция [img: http://localhost:8080/file/041709-83.jpg] является единственным не слишком быстро растущим по tрешением задачи [img: http://localhost:8080/file/041709-84.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041709-85.jpg] - математич. ожидание, отвечающее [img: http://localhost:8080/file/041709-86.jpg], Оператор Ародственен характеристическому оператору [img: http://localhost:8080/file/041709-87.jpg] (см. [2]). Пусть X - непрерывный справа марковский процесс в топологич. пространстве Е, Для борелевской функции f полагают [img: http://localhost:8080/file/041709-88.jpg] если предел существует для всех [img: http://localhost:8080/file/041709-89.jpg], где Uпробегает систему окрестностей точки х, стягивающихся к х, и где t - момент первого выхода Xиз U(при [img: http://localhost:8080/file/041709-90.jpg] дробь, стоящую под знаком предела, приравнивают нулю). Во многих случаях вычисление Af сводится к вычислению [img: http://localhost:8080/file/041709-91.jpg].