Перрона метод

- метод решения Дирихле задачи для Лапласа уравнения, основанный на свойствах субгармонических функций (и супергармонич. функций). Первоначальное изложение этого метода было дано О. Перроном [1], существенное развитие получено в работах Н. Винера [3] и М. В. Келдыша [4]. Пусть W - коночная область евклидова пространства [img: http://localhost:8080/file/041710-55.jpg] с границей [img: http://localhost:8080/file/041710-56.jpg] - действительная функция на [img: http://localhost:8080/file/041710-57.jpg]. Пусть Ф - (непустое) семейство всех супергармонич. функций [img: http://localhost:8080/file/041710-58.jpg] в широком смысле (т. е. функция [img: http://localhost:8080/file/041710-59.jpg] принадлежит Ф), ограниченных снизу и таких, что [img: http://localhost:8080/file/041710-60.jpg] и пусть [img: http://localhost:8080/file/041710-61.jpg] - нижняя огибающая семейства Ф. Наряду с Ф рассматривается (непустое) семейство Y всех субгармонич. функций [img: http://localhost:8080/file/041710-62.jpg], в широком смысле (функция u(x) [img: http://localhost:8080/file/041710-63.jpg]), ограниченных сверху и таких, что [img: http://localhost:8080/file/041710-64.jpg] и пусть [img: http://localhost:8080/file/041710-65.jpg] - верхняя огибающая семейства Y. Относительно функции [img: http://localhost:8080/file/041710-66.jpg] (и [img: http://localhost:8080/file/041710-67.jpg]) имеются только три возможности: [img: http://localhost:8080/file/041710-68.jpg] - гармонич. функция, причем всегда [img: http://localhost:8080/file/041710-69.jpg] Функция [img: http://localhost:8080/file/041710-70.jpg], наз. разрешимой, если обе огибающие [img: http://localhost:8080/file/041710-71.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041710-72.jpg] конечны и совпадают. В этом случае гармонич. функция [img: http://localhost:8080/file/041710-73.jpg] есть обобщенное решение задачи Дирихле для функции [img: http://localhost:8080/file/041710-74.jpg] (в смысле Винера - Перрона). Для того чтобы функция [img: http://localhost:8080/file/041710-75.jpg], была разрешимой, необходимо и достаточно, чтобы она была интегрируемой по гармонич. мере на Г (теорема Брело). Любая непрерывная конечная функция [img: http://localhost:8080/file/041710-76.jpg], разрешима (теорема Винера). Точка [img: http://localhost:8080/file/041710-77.jpg] наз. регулярной граничной точкой, если для любой непрерывной конечной функции [img: http://localhost:8080/file/041710-78.jpg], выполняется предельное соотношение [img: http://localhost:8080/file/041710-79.jpg] Регулярность всех точек [img: http://localhost:8080/file/041710-80.jpg] равносильна существованию классич. решения wf(x).задачи Дирихле для любой непрерывной конечной функции [img: http://localhost:8080/file/041710-81.jpg] причем в этом случае [img: http://localhost:8080/file/041710-82.jpg]; область W, все граничные точки к-рой регулярны, иногда наз. также регулярной. Для того чтобы точка [img: http://localhost:8080/file/041710-83.jpg] была регулярной, необходимо и достаточно, чтобы существовал барьер в у 0. Точки [img: http://localhost:8080/file/041710-84.jpg], не являющиеся регулярными, наз. иррегулярными граничными точками. Напр., иррегулярными граничными точками являются изолированные точки и при [img: http://localhost:8080/file/041710-85.jpg] вершины достаточно сильно заостренных входящих в область W острий (пример Лебега). Множество всех иррегулярных точек Г есть множество типа Fs емкости нуль. Пусть имеется последовательность областей Wk, [img: http://localhost:8080/file/041710-86.jpg], такая, что [img: http://localhost:8080/file/041710-87.jpg], и непрерывная конечная функция [img: http://localhost:8080/file/041710-88.jpg], продолжена непрерывно на окрестность Г. Тогда [img: http://localhost:8080/file/041710-89.jpg] равномерно внутри W; в случае регулярных областей Wk здесь получается конструкция обобщенного решения задачи Дирихле по Винеру. Рассмотрим теперь для области W без внутренней границы произвольную последовательность областей [img: http://localhost:8080/file/041710-90.jpg] В этом случае, вообще говоря, [img: http://localhost:8080/file/041710-91.jpg] Задача Дирихле устойчива в области W или в замкнутой области [img: http://localhost:8080/file/041710-92.jpg], если [img: http://localhost:8080/file/041710-93.jpg] соответственно для всех [img: http://localhost:8080/file/041710-94.jpg] или для всех [img: http://localhost:8080/file/041710-95.jpg]. Для устойчивости задачи Дирихле в области W. необходимо и достаточно, чтобы множества всех иррегулярных точек дополнений CW. и [img: http://localhost:8080/file/041710-96.jpg] совпадали; для устойчивости в замкнутой области - чтобы дополнение [img: http://localhost:8080/file/041710-97.jpg] не имело иррегулярных точек (теоремы Келдыша, см. [4], где построен также пример регулярной области W, внутри к-рой задача Дирихле неустойчива). См. также Верхних и нижних функций метод.