Перрона - фробениуса теорема

: пусть действительная квадратная [img: http://localhost:8080/file/041710-112.jpg] -матрица А, рассматриваемая как оператор в пространстве [img: http://localhost:8080/file/041710-113.jpg], не имеет инвариантных координатных подпространств (такая матрица наз. неразложимой) и неотрицательна (т. е. все ее элементы неотрицательны). И пусть [img: http://localhost:8080/file/041710-114.jpg] - ее собственные значения, занумерованные так, что [img: http://localhost:8080/file/041710-115.jpg] Тогда: 1) число r=|l1| -простой положительный корень характеристич. многочлена матрицы А; 2) существует собственный вектор матрицы Ас положительными координатами, соответствующий r; 3) числа [img: http://localhost:8080/file/041710-116.jpg] совпадают с точностью до нумерации с числами [img: http://localhost:8080/file/041710-117.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041710-118.jpg]; 4) произведение любого собственного значения матрицы Ана ш есть собственное значение матрицы А; 5) при h>1 найдется перестановка строк и столбцов, приводящая матрицу Ак виду [img: http://localhost:8080/file/041710-119.jpg] где Aj - матрицы порядка nh-1.0. Перрон доказал в [1] утверждения 1) и 2) для положительных матриц, а в полном объеме приведенную теорему доказал Ф. Фробениус в [2].