Пикара схема

- естественное обобщение в рамках теории схем понятия Пикара многообразия [img: http://localhost:8080/file/041711-75.jpg] гладкого алгебраич. многообразий X. Для определения П. с. произвольной "S-схемы Храссматривается относительный функтор Пикара PicX/S на категории Sch/S схем над схемой S. Значение этого функтора На S-cхеме S' есть группа [img: http://localhost:8080/file/041711-76.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041711-77.jpg] есть морфизм замены базы, [img: http://localhost:8080/file/041711-78.jpg] - пучок на топологии Гротендика S'fpqc строго плоских квазикомпактных морфизмов, ассоциированный с предпучком [img: http://localhost:8080/file/041711-79.jpg] а G т обозначает стандартный мультипликативный пучок. Если функтор Пикара PicX/S представим на (Sch/S), то представляющая его S-схема наз. относительной схемой Пикара S-схемы Xиобозначается Piс X/S. В случае, когда X - алгебраич. схема над нек-рым полем k, имеющая рациональную k-точку, [img: http://localhost:8080/file/041711-80.jpg] для любой k-схемы S' (см. [3]); в частности, [img: http://localhost:8080/file/041711-81.jpg] = = Pic(X) отождествляется с группой k-рациональных точек [img: http://localhost:8080/file/041711-82.jpg] схемы [img: http://localhost:8080/file/041711-83.jpg], если таковая существует. Если [img: http://localhost:8080/file/041711-84.jpg] - проективный морфизм с геометрически целостными слоями, то схема [img: http://localhost:8080/file/041711-85.jpg] существует и является локально конечно представленной отделимой групповой S-схемой. Если S=Spec(k), то связная компонента единицы [img: http://localhost:8080/file/041711-86.jpg] схемы [img: http://localhost:8080/file/041711-87.jpg] является алгебраической k-схемой и соответствующая приведенная k-схема [img: http://localhost:8080/file/041711-88.jpg] есть в точности многообразие Пикара [img: http://localhost:8080/file/041711-89.jpg] (см. [4]). Нильпотентные элементы в локальных кольцах схемы [img: http://localhost:8080/file/041711-90.jpg] дают много дополнительной информации о П. с. и позволяют объяснить ряд паталогий в алгебраич. геометрии над полем характеристики р>0. С другой стороны, над полем характеристики 0 схема [img: http://localhost:8080/file/041711-91.jpg] всегда приведена (см. [6]). Известно также, что схема [img: http://localhost:8080/file/041711-92.jpg] приведена, если F - гладкая алгебраич. поверхность и [img: http://localhost:8080/file/041711-93.jpg] (см. [5]). Для любого собственного плоского морфизма f: [img: http://localhost:8080/file/041711-94.jpg] (конечно представленного, если база Sнётерова), для к-рого [img: http://localhost:8080/file/041711-95.jpg], при любой замене базы [img: http://localhost:8080/file/041711-96.jpg] функтор [img: http://localhost:8080/file/041711-97.jpg] является алгебраич. пространством над S(см. [1]), В частности, функтор [img: http://localhost:8080/file/041711-98.jpg] представим, если базисная схема Sесть спектр локального артинова кольца.