Пикара теорема

- 1) П. т. о поведении аналитической функции f(z) комплексного переменного zв окрестности существенно особой точки а - название результата классич. теории функций, явившегося отправным пунктом многочисленных глубоких исследований и состоящего из двух частей. а) Малая теорема Пикара: всякая целая функция [img: http://localhost:8080/file/041711-99.jpg] const принимает любое конечное комплексное значение, за исключением, быть может, одного. б) Большая теорема Пикара: всякая однозначная аналитич. ция f(z) в произвольной окрестности изолированной существенно особой точки а принимает любое конечное комплексное значение, за исключением, быть может, одного. Впервые эта теорема опубликована Э. Пикаром [1], [2]. Она существенно дополняет Сохоцкого теорему. Малая П. т. есть следствие большой П. т. Из большой П. т. непосредственно следует, что любое конечное комплексное значение, за исключением, быть может, одного, принимается в произвольной окрестности существенно особой точки бесконечно часто. Для мероморфной функции в конечной плоскости [img: http://localhost:8080/file/041711-100.jpg] П. т. принимает вид: если точка [img: http://localhost:8080/file/041711-101.jpg] - существенно особая для мероморфной в [img: http://localhost:8080/file/041711-102.jpg] функции F(z), то в произвольной окрестности точки афункция F(z). принимает любое комплексное значение из расширенной комплексной плоскости [img: http://localhost:8080/file/041711-103.jpg], за исключением, быть может, двух, и притом бесконечно часто. Как показывают примеры целой функции [img: http://localhost:8080/file/041711-104.jpg] и мероморфной функции [img: http://localhost:8080/file/041711-105.jpg] все эти утверждения точные. Фигурирующие в П. т. исключительные значений наз. пикаровскими исключительными значениями. П. т. существенно дополняется Иверсена теоремой к Жюлиа теоремой, к-рые показывают соответственно, что пикаровские исключительные значения являются асимптотическими значениями и что существуют лучи Жюлиа L, исходящие из существенно особой точки аи такие, что неисключительные значения принимаются бесконечно часто даже в любом сколь угодно малом секторе с вершиной аи осью симметрии L. Для современных исследований, связанных с П. т., характерны следующие два направления. Пусть Е - множество существенно особых точек мероморфной функции F(z), то есть F(z) - мероморфная функция в нек-рой окрестности любой точки [img: http://localhost:8080/file/041711-106.jpg], и предельное множество С(z0; F).функции F(z).в точке [img: http://localhost:8080/file/041711-107.jpg] не сводится к одному значению. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041711-108.jpg],- множество тех значений [img: http://localhost:8080/file/041711-109.jpg], к-рые в любой окрестности точки апринимаются бесконечно часто. Тогда П. т. утверждает, что если а - изолированная точка Е, то дополнение [img: http://localhost:8080/file/041711-110.jpg] обладает свойством Пикара, т. е. состоит не более чем ив двух точек. В. В. Голубев в 1916 установил, что если емкость множества Еравна нулю, cap E=0, то CR(a; F).имеет емкость нуль для всех [img: http://localhost:8080/file/041711-111.jpg]. Вопрос о том, каковы минимальные условия на Е, чтобы множество CR(a; F).для всех [img: http://localhost:8080/file/041711-112.jpg] обладало свойством Пикара, пока (1983) полностью не решен. Примеры показывают, что, с одной стороны, условие capE=0 не является достаточным, а с другой - что имеется множество Е,capE>0, вне к-рого не существует мероморфных трансцендентных функций, выпускающих четыре значения (см. [4], [5], [8]). Второе направление связано с обобщениями П. т. для аналитич. ций f(z).многих комплексных переменных [img: http://localhost:8080/file/041711-113.jpg]. При n=1 П. т. можно формулировать и так: любое толоморфное отображение [img: http://localhost:8080/file/041711-114.jpg], выпускающее по крайней мере две точки, постоянно. Однако в 1922 П. Фату (P. Fatou) построил пример невырожденного голоморфного (и даже биголоморфного) отображения [img: http://localhost:8080/file/041711-115.jpg], для к-рого множество исключительных значений [img: http://localhost:8080/file/041711-116.jpg] содержит непустое открытое множество. Это означает, что П. т. (и даже теорему Сохоцкого) непосредственно нельзя распространить па случай n>1. Обобщения П. т. все же возможны, если отправляться, напр., от другой ее формулировки, несколько искусственной при n=1: любое голоморфное отображение [img: http://localhost:8080/file/041711-117.jpg] в комплексную проективную плоскость [img: http://localhost:8080/file/041711-118.jpg], выпускающее по крайней мере три гиперплоскости (т. е. точки при n=1), постоянно. Верна, в частности, такая теорема Грина: любое голоморфное отображение [img: http://localhost:8080/file/041711-119.jpg], выпускающее по крайней мере 2n+1 гиперплоскостей в общем положении, постоянно (см. [3], [6], [8]. 2) П. т. об униформизации алгебраических кривых: если алгебраич. кривая Ф(z, w)=0 имеет род g>l, то не существует ни одной пары мероморфных функций [img: http://localhost:8080/file/041711-120.jpg] таких, что [img: http://localhost:8080/file/041711-121.jpg]. Иными словами, униформизация алгебраич. кривых рода g>1 при помощи мероморфных функций невозможна. Напротив, в случае g=l униформизация всегда осуществима при помощи (мероморфных) эллиптич. функций. Установлена Э. Пикаром [7].