Планшереля формула

- формула, выражающая инвариантность скалярного произведения при преобразовании Фурье в пространстве L2(X). [img: http://localhost:8080/file/041712-53.jpg] В классич. случае, когда [img: http://localhost:8080/file/041712-54.jpg] есть n-мерное евклидово пространство, m(z) и m(у).суть n-мерные меры Лебега, преобразование Фурье [img: http://localhost:8080/file/041712-55.jpg] на пространстве [img: http://localhost:8080/file/041712-56.jpg] является непрерывным продолжением классич. преобразования Фурье [img: http://localhost:8080/file/041712-57.jpg] (х, у) - скалярное произведение в [img: http://localhost:8080/file/041712-58.jpg], с множества [img: http://localhost:8080/file/041712-59.jpg] на пространство [img: http://localhost:8080/file/041712-60.jpg] П. ф. справедлива также, когда X - локально компактная коммутативная топологич. группа, Y - ее группа характеров, [img: http://localhost:8080/file/041712-61.jpg] - соответствующим образом нормированные инвариантные меры в группах Xи Y, а преобразование Фурье f(х) [img: http://localhost:8080/file/041712-62.jpg] на пространстве [img: http://localhost:8080/file/041712-63.jpg] является непрерывным продолжением отображения [img: http://localhost:8080/file/041712-64.jpg] с множества [img: http://localhost:8080/file/041712-65.jpg] на пространство L2(X). П. ф. обобщается на некоммутативные топологич. группы. Пусть, напр., G - бикомпактная группа, m - инвариантная на ней мера, [img: http://localhost:8080/file/041712-66.jpg] - неприводимое конечномерное размерности п a унитарное представление группы Gв гильбертовом пространстве, [img: http://localhost:8080/file/041712-67.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041712-68.jpg] (* - переход к сопряженному оператору), [img: http://localhost:8080/file/041712-69.jpg] - след оператора [img: http://localhost:8080/file/041712-70.jpg] Тогда обобщенная П. ф. имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041712-71.jpg]