Плотность вероятности

плотность распределения вероятностей,- производная функции распределения, отвечающей абсолютно непрерывной вероятностной мере. Пусть X - случайный вектор, принимающий значения в re-мерном евклидовом пространстве [img: http://localhost:8080/file/041715-68.jpg], Р(х г,..., х п).- его функция распределения и пусть существует неотрицательная функция f(xlt..., х п). такая, что [img: http://localhost:8080/file/041715-69.jpg] для любых действительных ij,..., х п. Тогда/(ij,..., х п).наз. плотностью вероятности случайного вектора Xи для любого борелевского множества [img: http://localhost:8080/file/041715-70.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041715-71.jpg] Любая неотрицательная интегрируемая функция i(x:,..., х п), удовлетворяющая условию [img: http://localhost:8080/file/041715-72.jpg] является П. в. нек-рого случайного вектора. Если случайные векторы Xи У, принимающие значения в [img: http://localhost:8080/file/041715-73.jpg], независимы и имеют П. в. }(х г,..., хД).и g(xl,..., х п).соответственно, то случайный вектор X--Y имеет П. в. h(x1,..., xrt), к-рая является рверт-кой функций fug: [img: http://localhost:8080/file/041715-74.jpg] Пусть Х=(X1,..., Х п).и Y=(Y1,..., Y т) - случайные векторы, принимающие значения в [img: http://localhost:8080/file/041715-75.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041715-76.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041715-77.jpg] и имеющие П. в. f(x1,..., х п).и g(y1,..., у т).соответственно, и пусть Z=(Х 1,..., Х n, Y1,..., Ym) - случайный вектор в Rn+m. Тогда если Xи У независимы, то Z имеет П. в. h(t1,..., tn+m), наз. совместной плотностью распределения вероятностей случайных векторов Xи Y, причем [img: http://localhost:8080/file/041715-78.jpg] (1) И обратно, если Zимеет П. в., удовлетворяющую соотношению (1), то Xи Y независимы. Характеристич. функция j(t1,..., tn) случайного вектора X, имеющего П. в. f(x1,..., х т), выражается формулой [img: http://localhost:8080/file/041715-79.jpg] причем если j(t1,..., tn).абсолютно интегрируема, то f(x1,..., х п).является ограниченной непрерывной функцией и [img: http://localhost:8080/file/041715-80.jpg] П. в. f(x1,..., х п).и соответствующая характеристич. функция j(t1,..., tn).связаны также следующим соотношением (тождество Планшeреля): функция f2(x1,..., х п).интегрируема тогда и только тогда, когда интегрируема функция |j(t1,..., tn)|2, и в этом случае [img: http://localhost:8080/file/041715-81.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/041715-82.jpg], - измеримое пространство, v и m суть s-конечные меры на [img: http://localhost:8080/file/041715-83.jpg], причем v абсолютно непрерывна относительно m, т. е. из равенства m(A)=0 следует равенство [img: http://localhost:8080/file/041715-84.jpg]. В этом случае на [img: http://localhost:8080/file/041715-85.jpg] существует неотрицательная измеримая функция f такая, что [img: http://localhost:8080/file/041715-86.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/041715-87.jpg]. Функция f наз. производной Радона - Никодима меры v по мере m, а в случае, когда v - вероятностная мера, также П. в. v по отношению к m. Спонятием П. в. тесно связано понятие доминирова иного семейства распределений. Семейство вероятностных распределений [img: http://localhost:8080/file/041715-88.jpg] на измеримом пространстве [img: http://localhost:8080/file/041715-89.jpg] наз. доминированным, если на [img: http://localhost:8080/file/041715-90.jpg] существует s-конечная мера mтакая, что каждая вероятностная мера из [img: http://localhost:8080/file/041715-91.jpg] имеет П. в. по отношению к m (или, что то же самое, каждая мера из [img: http://localhost:8080/file/041715-92.jpg] абсолютно непрерывна относительно m). Предположение о доминированности является существенным в нек-рых теоремах математич. статистики.