Повторного логарифма закон

предельная теорема теории вероятностей, являющаяся уточнением больших чисел усиленного закона. Пусть X1, Х 2,...- последовательность случайных величин и [img: http://localhost:8080/file/041717-84.jpg] Для простоты предполагается, что Sn для каждого пимеет нуль своей медианой. В то время как теоремы об усиленном законе больших чисел указывают условия, при к-рых [img: http://localhost:8080/file/041717-85.jpg] почти наверное (п. н.) при [img: http://localhost:8080/file/041717-86.jpg], где {а п} - числовая последовательность, теоремы о П. л. з. имеют дело с числовыми последовательностями {с n} такими, что [img: http://localhost:8080/file/041717-87.jpg] п. или [img: http://localhost:8080/file/041717-88.jpg] п. Соотношение (1) равносильно тому, что [img: http://localhost:8080/file/041717-89.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041717-90.jpg] для любого e>0, где запись "б. ч." означает бесконечное число раз. Соотношения вида (1) и (2) справедливы при более ограничительных условиях, чем оценки, вытекающие из усиленного закона больших чисел. Если {Х n} - последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение с математич. ожиданием, равным нулю, то [img: http://localhost:8080/file/041717-91.jpg] п. [img: http://localhost:8080/file/041717-94.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041717-95.jpg] (теорема Хартмана - Винтнера). Первой теоремой общего типа о законе повторного логарифма был следующий результат А. Н. Колмогорова [1]. Пусть {Х п}- последовательность независимых случайных величин с математич. ожиданиями, равными нулю, конечными дисперсиями и пусть [img: http://localhost:8080/file/041717-96.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/041717-97.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041717-98.jpg] и существует последовательность положительных постоянных {М n} такая, что [img: http://localhost:8080/file/041717-99.jpg] то выполнены соотношения (1) и (2) при [img: http://localhost:8080/file/041717-100.jpg] В частном случае, когда {Х п} - последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение с двумя значениями, это утверждение было получено А. Я. Хинчиным [2]. IO. Марцинкевич и А. Зигмунд [3] показали, что в условиях теоремы Колмогорова нельзя заменить о на О. Обобщения П. л. з. Колмогорова для последовательностей независимых ограниченных неодинаково распределенных случайных величин были исследованы В. Феллером [4]. Другие обобщения П. л. з. см. в [5]; имеется также следующий результат (см. [6]), примыкающий к теореме Хартмана - Винтнера: если {Х п} - последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение с бесконечной дисперсией, то [img: http://localhost:8080/file/041717-101.jpg] п. Результаты, полученные в области П. л. з. для последовательностей независимых случайных величин, послужили отправным пунктом для многочисленных исследований применимости П. л. з. к последовательностям зависимых случайных величин и векторов и к случайным процессам.