Повторный интеграл

интеграл, в к-ром последовательно выполняется интегрирование по разным переменным, т. е. интеграл вида [img: http://localhost:8080/file/041717-102.jpg] (1) Функция f(x, y).определена на множестве А, лежащем в прямом произведении XX Y пространств Xи У, в к-рых заданы s-конечные меры mx и my, обладающие свойством полноты; множество [img: http://localhost:8080/file/041717-103.jpg] ("сечение" множества А), измеримое относительно меры m х;. множество А у (проекция множества Ав пространство Y), измеримое относительно меры m у. Интегрирование по (у).производится по мере (mx, а по А у - по мере my. Интеграл (1) обозначают также [img: http://localhost:8080/file/041717-104.jpg] К П. и. могут быть сведены кратные интегралы. Пусть функция f(x, у), интегрируемая по мере [img: http://localhost:8080/file/041717-105.jpg] на множестве [img: http://localhost:8080/file/041717-106.jpg], продолжена нулем на все пространство [img: http://localhost:8080/file/041717-107.jpg], тогда П. и. [img: http://localhost:8080/file/041717-108.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041717-109.jpg] существуют и равны между собой: [img: http://localhost:8080/file/041717-110.jpg] (2) (см. Фубини теорема). В левом интеграле внешнее интегрирование фактически производится по множеству [img: http://localhost:8080/file/041717-111.jpg]. Таким образом, в частности, для точек [img: http://localhost:8080/file/041717-112.jpg] множества (у).измеримы относительно меры m х. По всему множеству А у брать этот интеграл, вообще говоря, нельзя, т. к. при измеримом относительно меры m множества Амножество А у может оказаться неизмеримым относительно меры my, так же, как и отдельные множества (у), [img: http://localhost:8080/file/041717-113.jpg], могут быть неизмеримы относительно меры m х. Множество же [img: http://localhost:8080/file/041718-1.jpg] всегда измеримо относительно меры my, если только множество Аизмеримо относительно меры m. Сформулированные условия возможности перемены порядка интегрирования в П. и. являются лишь достаточными, но не необходимыми: иногда перемена порядка интегрирования в П. и. допустима, а соответствующий кратный интеграл не существует. Напр., для функции [img: http://localhost:8080/file/041718-2.jpg] при x2+y2>0 и f(0, 0) = 0 П. и. [img: http://localhost:8080/file/041718-3.jpg] а кратный интеграл [img: http://localhost:8080/file/041718-4.jpg] не существует. Однако если существует хотя бы один из интегралов [img: http://localhost:8080/file/041718-5.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/041718-6.jpg] то функция f интегрируема на множестве [img: http://localhost:8080/file/041718-7.jpg] и справедливо равенство (2). Для П. и. в случае, когда внутренний интеграл является интегралом Стилтьеса, а внешний - интегралом Лебега, справедлива следующая теорема о перемене порядка интегрирования: пусть функция g(x, у). суммируема по уна [с, d]для всех значений хиз [ а, b]и является функцией ограниченной вариации по хна [ а, b]для почти всех значений [img: http://localhost:8080/file/041718-8.jpg]. Пусть, далее, полная вариация функции g(x, у).но переменной хна [a, b]при всех указанных значениях уне превышает нек-рой неотрицательной и суммируемой на [с, d] функции. Тогда функция [img: http://localhost:8080/file/041718-9.jpg] является функцией ограниченной вариации от переменной хна [а, b]и для любой непрерывной на [а, b]функции f(х).имеет место формула [img: http://localhost:8080/file/041718-10.jpg]