Повторный предел

- предел функции нескольких переменных, при к-ром предельный переход совершают последовательно по различным переменным. Пусть, напр., функция f двух переменных х и уопределена на множестве вида [img: http://localhost:8080/file/041718-11.jpg], и пусть х 0, y0 - предельные точки соответственно множеств Xи Y или символы оо (в случае, когда m=1 или n=1, х 0 и соответственно y0 могут быть бесконечностями со знаком: [img: http://localhost:8080/file/041718-12.jpg]). Если при любом фиксированном [img: http://localhost:8080/file/041718-13.jpg] существует предел [img: http://localhost:8080/file/041718-14.jpg] (1) и у функции j(у).существует предел [img: http://localhost:8080/file/041718-15.jpg] то этот предел наз. повторным пределом [img: http://localhost:8080/file/041718-16.jpg] (2) функции f(x, у).в точке (х 0, у 0). Аналогично определяется П. п. [img: http://localhost:8080/file/041718-17.jpg] (3) Если существует (конечный или бесконечный) двойной предел [img: http://localhost:8080/file/041718-18.jpg] (4) и при любом фиксированном [img: http://localhost:8080/file/041718-19.jpg] существует конечный предел (1), то существует и П. п. (2) и он равен двойному пределу (4). Если при каждом [img: http://localhost:8080/file/041718-20.jpg] существует предел (1), а при каждом [img: http://localhost:8080/file/041718-21.jpg] существует предел [img: http://localhost:8080/file/041718-22.jpg] и если при [img: http://localhost:8080/file/041718-23.jpg] функция f(x, у).стремится на Y к предельной функции j(у).равномерно относительно у, то оба П. п. (2) и (3) существуют и равны друг другу. Если множества Xи Yявляются множествами натуральных чисел, то функция f наз. в этом случае двойной последовательностью и значения аргументов пишут в виде индексов: [img: http://localhost:8080/file/041718-24.jpg] а П. п. [img: http://localhost:8080/file/041718-25.jpg] наз. повторным и пределами двойной последовательности. Понятие П. п. обобщается на случай, когда X, Y и множество значений функции f являются подмножествами нек-рых топологич. пространств. Л. Д. Кудрявцев.