Подмногообразие

- 1) В узком смысле слова топологическое n-мерное П. топологического m-мерного многообразия М - такое подмножество [img: http://localhost:8080/file/041720-50.jpg], к-рое в индуцированной топологии является n-мерным многообразием. Число m - nназ. коразмерностью подмногообразия N. Наиболее часто встречаются локально плоские П., для к-рых тождественное вложение [img: http://localhost:8080/file/041720-51.jpg] является локально плоским вложением. Подмножество [img: http://localhost:8080/file/041720-52.jpg] является локально плоским П., если для каждой точки [img: http://localhost:8080/file/041720-53.jpg] имеются такая окрестность Uэтой точки в Ми такие локальные координаты x1,..., xm в ней, что в терминах этих координат [img: http://localhost:8080/file/041720-54.jpg] описывается уравнениями xn+1=...=xm=0. 2) В широком смысле слова топологическое n-мерное П. топологического m-мерного многообразия М - такое n-мерное многообразие N, к-рое как множество точек является подмножеством М(иными словами, N - это подмножество М, снабженное структурой п- мерного многообразия) и для. к-рого тождественное вложение [img: http://localhost:8080/file/041720-55.jpg] является погружением. П. в узком смысле является П. в широком смысле, а последнее является П. в узком смысле тогда и только тогда, когда iесть вложение в топологич. смысле (т. е. у каждой точки [img: http://localhost:8080/file/041720-56.jpg] имеется сколь угодно малые окрестности в N, являющиеся пересечениями с N нек-рых окрестностей в М). 3) Кусочно линейное, аналитическое или дифференцируемое (класса [img: http://localhost:8080/file/041720-57.jpg]) П. кусочно линейного, аналитического или дифференцируемого (класса [img: http://localhost:8080/file/041720-58.jpg]) многообразия Мв широком смысле (соответственно узком) - это подмножество [img: http://localhost:8080/file/041720-59.jpg], к-рое снабжено структурой кусочно линейного, аналитического или дифференцируемого (класса С l).многообразия, причем iявляется кусочно линейным, аналитическим или дифференцируемым (класса С l).погружением (соответственно вложением). Определение дифференцируемого П. класса С l годится и при l=0, совпадая в этом случае с определением топологического П. Обычно подразумевается, что [img: http://localhost:8080/file/041720-60.jpg]. В аналитическом и дифференцируемом случаях П. всегда является локально плоским. Поэтому определение аналитического (дифференцируемого) П. в узком смысле обычно с самого начала формулируется как аналитический (дифференцируемый) вариант данного в 1) определении локально плоского П. с помощью локальных координат, добавляя к сказанному там условию, чтобы локальные координаты x1,..., х т были аналитическими (дифференцируемыми класса С l). Если подмножество Nудовлетворяет последнему определению, то оно естественным образом снабжается структурой аналитического (дифференцируемого класса С l).многообразия и iоказывается вложением в смысле соответствующей структуры. Кусочно линейное П. в узком смысле локально представляется как подполиэдр объемлющего многообразия, кусочно линейно эквивалентный симплексу. Оно не всегда является локально плоским (хотя это так при т - n>2); кроме того, для таких П. свойство быть локально плоским в топологич. смысле не совпадает (по крайней мере непосредственно) со свойством быть локально плоским в кусочно линейном смысле. 4) Простой модификацией этих определений получаются определения: П. с краем; П. многообразия с краем (при этом в ряде топологич. вопросов оказывается целесообразным ограничить возможные расположения П. у края объемлющего многообразия, см. [1]); П., различные компоненты к-рого могут иметь различную размерность; П. бесконечномерного многообразия [2]; комплексно аналитического П. комплексно аналитического многообразия. Понятие П. в узком смысле является непосредственным обобщением понятия кривой и поверхности. П. в широком смысле используются в теории групп Ли (где это понятие и было впервые введено [3]), дифференциальной геометрии [4] и теории слоений. 5) В алгебраической геометрии П.- замкнутое подмножество алгебраич. многообразия в Зариского топологии. Этим формализуется идея, что П. задается алгебраич. уравнениями. Помимо перехода от R к другим полям, изменение понятия П. в этом случае состоит в том, что допускаются П. с особенностями.