Подпрямое произведение

алгебраических систем - специальный тип подсистем прямого (декартова) произведения систем. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041721-49.jpg],- семейство однотипных алгебраич. систем и пусть А == [img: http://localhost:8080/file/041721-50.jpg] - прямое произведение этих систем с проекциями [img: http://localhost:8080/file/041721-51.jpg]. Алгебраич. система Втого же типа паз. подпрямым произведением систем АI, если существует такое вложение [img: http://localhost:8080/file/041721-52.jpg], что гомоморфизмы [img: http://localhost:8080/file/041721-53.jpg], сюръективны. Иногда под П. п. понимается любая система, изоморфная подсистеме прямого произведения: тогда системы, удовлетворяющие сформулированному выше условию, наз. специальными подпрямым и произведениями. В теории колец и в теории модулей П. п. наз. также нодпрямой суммой. Подпрямое произведение (подпрямую сумму) обозначают [img: http://localhost:8080/file/041721-54.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/041721-55.jpg] соответственно). Следующие условия равносильны: а) система Вявляется П. п. систем [img: http://localhost:8080/file/041721-56.jpg]; б) существует разделяющее семейство сюръективных гомоморфизмов [img: http://localhost:8080/file/041721-57.jpg]; в) существует такое семейство конгруэнции [img: http://localhost:8080/file/041721-58.jpg], системы В, что пересечение этих конгруэнции является единичной конгруэнцией и [img: http://localhost:8080/file/041721-59.jpg] для каждого [img: http://localhost:8080/file/041721-60.jpg]. Всякая универсальная алгебра является П. п. подпрямо неразложимых алгебр. С теоретико-категорной точки зрения понятие П. п. двойственно понятию правильного произведения алгебраич. систем с нулевыми (одноэлементными) подсистемами, м. Ш. Цаленко.