Подстановок группа

- совокупность подстановок на нек-ром множестве X, образующих группу относительно операции умножения подстановок. Иначе, П. г.- это пара (G, X), где G - группа, X - множество и каждому [img: http://localhost:8080/file/041721-92.jpg] соответствует подстановка [img: http://localhost:8080/file/041721-93.jpg] множества Xтакая, что 1) [img: http://localhost:8080/file/041721-94.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041721-95.jpg], и 2) х a=х для любого [img: http://localhost:8080/file/041721-96.jpg] тогда и только тогда, когда a=e - единица группы G. Если выполняется лишь условие 1), то говорят о действии (или представлении) группы G на множестве X. В этом случае подмножество Нэлементов группы G, оставляющих на месте все [img: http://localhost:8080/file/041721-97.jpg], будет нормальным делителем в G(называемым ядром действия) и факторгруппа G/H действует на Xуже как 11. г. Если X - конечное множество, то П. г. (G, X).наз. конечной, в противном случае - бесконечной. Множество всех подстановок на Xназ. симметрич. группой и обозначается S(X). или Sn, если Х={1, 2,..., n}. Подобием (или изоморфизмом) П. г. (G, X).на П. г. (G', X').наз. пара (j, y) отображений, где j - изоморфизм G на G', а y - биекция Xна X', причем оба отображения согласованы в том смысле, что для всех [img: http://localhost:8080/file/041721-98.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041721-99.jpg] имеет место равенство [img: http://localhost:8080/file/041721-100.jpg]. П. г., между к-рыми существует подобие, наз. подобными. Если (G, X).- П. г., то на множестве Xестественно определена эквивалентность: [img: http://localhost:8080/file/041721-101.jpg] для нек-рого [img: http://localhost:8080/file/041721-102.jpg]; классы эквивалентности П. г. наз. орбитами, или областями транзитивности, группы (G, X). П. г. транзитивна, если она имеет лишь одну орбиту, в противном случае она интранзитивна (см. Транзитивная группа). Произвольная абстрактная группа Gможет быть представлена как П. г. на подходящем множестве X(теорема Кэли). При этом в качестве Xможно выбрать множество всех элементов группы Gи сопоставить каждому [img: http://localhost:8080/file/041721-103.jpg] отображение, получающееся в результате умножения справа на элемент g: xg =xg. Полученное таким образом регулярное представление группы Gв виде П. г. не является единственно возможным. При исследовании П. г. интересуются другими свойствами, чем при изучении абстрактных групп. Речь идет не только о строении группы, а в первую очередь о том, как группа действует на множестве X;так, напр., свойство транзитивности есть свойство П. г., а не абстрактных групп. Пусть (G, X).- П. г., а М- подмножество в X. Совокупность всех подстановок [img: http://localhost:8080/file/041721-104.jpg], переводящих Мв себя (то есть [img: http://localhost:8080/file/041721-105.jpg]), образует подгруппу GM, называемую стабилизатором множества М. Множество тех подстановок, к-рые оставляют все [img: http://localhost:8080/file/041721-106.jpg] на месте, наз. фиксатором множества Ми обозначается G{M} Фиксатор будет нормальным делителем стабилизатора. Если М={a} - одноэлементное множество, то понятия стабилизатора и фиксатора совпадают (он обозначается Ga). Группа наз. полурегулярной (или действующей свободно), если стабилизатор каждой точки является единичной группой и регулярной (или просто транзитивной), если группа, кроме того, транзитивна. Централизатором [img: http://localhost:8080/file/041721-107.jpg] группы Gназ. ее централизатор в симметрич. группе S(X) - это совокупность подстановок на X, поэлементно перестановочных со всеми элементами из G. Централизатор транзитивной группы полурегулярен, и наоборот, централизатор полурегулярной группы транзитивен. Регулярная П. г. (G, X).подобна вышеприведенному регулярному представлению группы G. Централизатором [img: http://localhost:8080/file/041721-108.jpg] регулярного представления будет т. н. левое регулярное представление группы G, сопоставляющее элементу [img: http://localhost:8080/file/041721-109.jpg] подстановку [img: http://localhost:8080/file/041721-110.jpg] Существуют операции (см. [6]), позволяющие из заданных П. г. строить новые. а) Сумма П. г. Пусть (G, X).и (H, Y) - две П. г., причем пересечение [img: http://localhost:8080/file/041721-111.jpg] пусто. Сумма (G, X)+(H, Y).определяется как П. г. прямого произведения G Х H на [img: http://localhost:8080/file/041721-112.jpg] объединении [img: http://localhost:8080/file/041721-113.jpg], причем для [img: http://localhost:8080/file/041721-114.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041721-115.jpg] б) Произведением (G, Х).Х(Н, Y).П. г. (G, X).и (H, Y) наз. группа (GХ H, XX Y), действующая на XX Yсогласно формуле [img: http://localhost:8080/file/041721-116.jpg] Обо операции ассоциативны и могут быть определены для произвольного числа групп. в) Сплетение. Пусть (С, X).и (H, Y).- П. г. и [img: http://localhost:8080/file/041721-117.jpg] - отображение Xв H. На множестве пар [a, b (x)], называемых таблицами, определяется умножение: [img: http://localhost:8080/file/041721-118.jpg] относительно к-poгo они образуют группу [img: http://localhost:8080/file/041721-119.jpg]. Сплетение П. г. (G, X).и (H, Y).есть П. г. [img: http://localhost:8080/file/041721-120.jpg] причем действие определяется формулой [img: http://localhost:8080/file/041721-121.jpg] Сплетение также ассоциативно и может быть определено даже для любого вполне упорядоченного семейства П. г. Сплетение неединичных П. г. будет импримитивной группой. Если G к Н рассматривать как их регулярные представления, то это определение с точностью до порядка сомножителей совпадает с обычным теоретико-групповым сплетением групп. г) Экспонирование. Группа таблиц, действующая на множестве YX, приводит к П. г. [img: http://localhost:8080/file/041721-122.jpg] Причем действие определяется следующим образом: [img: http://localhost:8080/file/041721-123.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041721-124.jpg]. Экспонирование не ассоциативно и приводит обычно к примитивным группам. А именно, [img: http://localhost:8080/file/041721-125.jpg] примитивна, если (H, Y) - примитивная нециклич. группа. Группы подстановок возникают обычно как совокупность подстановок, сохраняющих нек-рые отношения или операции на множестве X(см. также Преобразований группа). Так, исходным для возникновения теории П. г. было понятие группы Галуа многочлена. Если [img: http://localhost:8080/file/041721-126.jpg] многочлен с коэффициентами а i из нек-рого поля К,a x1,...,xn - его корни в нек-ром надполе, то группой Галуа будет П. г. множества {x1,...,xn}, сохраняющих рациональные отношения между корнями, т. е. равенства вида [img: http://localhost:8080/file/041721-127.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041721-128.jpg]. Как показал Э. Галуа (Е. Galois), от свойств этой группы зависит разрешимость или неразрешимость уравнения f(x)=0 в радикалах. Этот результат привел к развитию теории П. г. в трудах Э. Галуа, Ж. Серре (J. Serret), К. Жордана (С. Jordan) и др. Дальнейшее развитие (кон. 19 - нач. 20 вв.) эта теория нашла в работах У. Бёрнсайда (W. Burnside), У. Маннинга (W. Manning), Г. Фробениуса (G. Frobenius), О. Ю. Шмидта, И. Шура (J. Schur). П. г. имеют многочисленные применения в дискретной математике, напр. при классификации булевых функций и конечных автоматов, в теории кодов с исправлением ошибок, при подсчете изомеров сложных органич. соединений.