Полезности теория

- теория, изучающая предпочтение индивидов и его представление в виде числовой функции. Предпочтением на множестве альтернатив Xназ. транзитивное бинарное отношение R на X;оно представляется функцией и(х).на X;при этом и(х).наз. функцией полезности, если для любых, [img: http://localhost:8080/file/041724-6.jpg] из хRу следует [img: http://localhost:8080/file/041724-7.jpg] и наоборот. Таким образом, в П. т. изучаются упорядоченные множества и их монотонные отображения в числовое пространство (обычно одномерное). П. т. возникла в работах экономистов 18 в.; начало современной (50-е гг. 20 в.) П. т. было положено Дж. Нейманом (J. Neumann) и О. Моргенштерном (О. Morgenstern) (см. [1]). Существование функции полезности в случае конечного множества Xявляется очевидным. В бесконечном случае необходимым и достаточным условием существования функции полезности является существование плотного по полезности счетного подмножества [img: http://localhost:8080/file/041724-8.jpg], т. е. для любых [img: http://localhost:8080/file/041724-9.jpg], существует такое [img: http://localhost:8080/file/041724-10.jpg], что xR*z и zR*y, где R*- строгое предпочтение ([img: http://localhost:8080/file/041724-11.jpg] и не yRx). Если X - выпуклое множество векторного пространства, Rнепрерывно на Xи для любых [img: http://localhost:8080/file/041724-12.jpg], и любого a, 0<a<1, верно [img: http://localhost:8080/file/041724-13.jpg], то существует единственная с точностью до положительной линейной трансформации линейная функция полезности (см. [3]). Различные комбинации более слабых условий приводят к нелинейной, разрывной или в том же смысле неединственной функции полезности. Напр., если X - векторное пространство и из xR*y следует [img: http://localhost:8080/file/041724-14.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/041724-15.jpg] и a>0, то функция оказывается однозначной, но кусочно линейной. В П. т. также рассматриваются стохастич. упорядочения и упорядочения сумм или разностей альтернатив (тогда функция полезности строится по нек-рому кватернарному отношению на X), обобщения для п- арного отношения вместо бинарного, построение функции полезности одновременно с субъективными вероятностями, связь между полезностью многокомпонентных альтернатив и полезностями их компонент и др. (см. [3], [4]).