Полей классов теория

теория, дающая описание всех абелевых расширений (конечных расширений Галуа с абелевой группой Галуа) поля К, принадлежащего к одному из следующих типов: 1) К - поле алгебраич. чисел, т. е. конечное расширение поля [img: http://localhost:8080/file/041724-16.jpg]; 2) К - конечное расширение поля рациональных р-адических чисел [img: http://localhost:8080/file/041724-17.jpg]; 3) К - поле алгебраич. функций одной переменной над конечным полем; 4) К - поле формальных степенных рядов над конечным полем. Основные теоремы П. к. т. были сформулированы и доказаны в частных случаях Л. Кронекером (L. Kronecker), Г. Вебером (Н. Weber), Д. Гильбертом (D. Hilbert) и др. (см. также Алгебраическая теория чисел). Поля типа 2) и 4) наз. локальными, а поля типа 1) и 3) - глобальными. Соответственно можно говорить о локальной и глобальной П. В локальной П. к. т. каждому конечному абелеву расширению L/К с группой Галуа G(L/K).ставится в соответствие норменная подгруппа NL/K(L*).мультипликативной группы К* поля К. Группа NL/K(L*).полностью определяет поле L, и существует канонич. изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/041724-18.jpg] (основной изоморфизм П. к. т.). Явный вид этого изоморфизма дает теория формального комплексного умножения (см. [2] гл. 6). Наоборот, любая открытая подгруппа конечного индекса в К* реализуется как норменная подгруппа для нек-рого абелева расширения L(теорема существования). Если Lи L1 - конечные абелевы расширения поля К, M=L [img: http://localhost:8080/file/041724-19.jpg] L1 и N=L.L1, то справедливы соотношения [img: http://localhost:8080/file/041724-20.jpg] (1) Включение [img: http://localhost:8080/file/041724-21.jpg] выполняется тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/041724-22.jpg] причем в этом случае диаграмма [img: http://localhost:8080/file/041724-23.jpg] (2) где а получен ограничением автоморфизмов с L1 на L,a b индуцирован тождественным отображением [img: http://localhost:8080/file/041724-24.jpg], коммутативна. В частности, если К аb- максимальное абелево расширение поля К, то группа Галуа G(Kab/K).канонически изоморфна проконечному пополнению группы К*. Изоморфизм j дает также описание последовательности подгрупп ветвления в G(L/K). Так, расширение L/K не разветвлено тогда и только тогда, когда группа единиц U(К).поля Ксодержится в группе NL/K(L*). В этом случае изоморфизм j полностью определяется тем, что автоморфизм Фробениуса, порождающий группу G(LlK), переходит в класс p.NL/K(L*), где p - простой элемент поля К. На языке когомологий групп изоморфизм j интерпретируется как изоморфизм между группами когомологий Тейта [img: http://localhost:8080/file/041724-25.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041724-26.jpg] Более того, пусть L/K- произвольное конечное расширение Галуа локальных полей. Тогда для любого целого n определен канонич. изоморфизм j: [img: http://localhost:8080/file/041724-27.jpg] Если задана башня полей Галуа [img: http://localhost:8080/file/041724-28.jpg], то инфляция [img: http://localhost:8080/file/041724-29.jpg] сохраняет инвариант (см. Брауара, группа), а ограничение [img: http://localhost:8080/file/041724-30.jpg] умножает инвариант на [L: К]. Если [img: http://localhost:8080/file/041724-31.jpg] -сепарабельное замыкание поля К, то инвариант определяет кавонич. изоморфизм между группой Брауэра поля А' [img: http://localhost:8080/file/041724-32.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041724-33.jpg] В глобальной П. к. т. роль мультипликативной группы поля играет группа классов иделей. Пусть LlK - конечное расширение Галуа глобальных полей, и IL. - группа иделей поля L. Группа L* вкладывается в IL в качестве дискретной подгруппы (она наз. группой главных иделей), а факторгруппа CL=IL/L*, наделенная фактортопологией, наз. группой классов иделей. Доказывается, что [img: http://localhost:8080/file/041724-34.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041724-35.jpg], где n=[L: К]. Существует канонич. вложение inv: [img: http://localhost:8080/file/041724-36.jpg]. Как и в локальной П. к. т., для любого целого попределен изоморфизм (основной изоморфизм глобальной П. к. т.) [img: http://localhost:8080/file/041724-37.jpg] Для абелева расширения L/К изоморфизм y0 сводится к изоморфизму [img: http://localhost:8080/file/041724-38.jpg]. Норменная подгруппа NL/K(С L) однозначно определяет поле L, и наоборот, любая открытая подгруппа конечного индекса в С K является норменной подгруппой для нек-рого конечного абелева расширения L(глобальная теорема существования). Соотношения, аналогичные (1) и (2), остаются справедливыми и для глобальных полей. Если К аb- максимальное абелево расширение поля K, то в функциональном случае группа G(Kab/K).изоморфна проконечному пополнению группы С K, а в числовом случае группа G(Kab/K]изоморфна факторгруппе группы С K по связной компоненте. Изоморфизмы jn и yn согласованы. Если L/Kконечное расширение Галуа глобальных полей, Lv - пополнение поля Lотносительно нек-рой точки v и К v- пополнение поля Котносительно ограничения vна К, то существует коммутативная диаграмма [img: http://localhost:8080/file/041724-39.jpg] (3) где отображение / индуцировано вложением L*-IL [img: http://localhost:8080/file/041724-40.jpg] С L и коограничением cores. Для n=0 (3) дает коммутативную диаграмму [img: http://localhost:8080/file/041724-41.jpg] (4) Диаграмма (4) позволяет получить закон разложения простых дивизоров поля Кв абелевом расширении L/K. Именно, дивизор с поля K не разветвлен в L (вполне распадается в L).тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/041724-42.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/041724-43.jpg] Если С - нек-рый простой дивизор поля К, не разветвленный в L, v - точка поля K, соответствующая с, и p - простой элемент поля Kv, то определен символ Артина [img: http://localhost:8080/file/041724-44.jpg], зависящий только от с. Элемент [img: http://localhost:8080/file/041724-45.jpg] - это автоморфизм Фробениуса в подгруппе разложения точки v. Согласно теореме плотности Чеботарева любой элемент группы G(L/K]имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041724-46.jpg] для бесконечного числа простых дивизоров с поля К. Напр., максимальное абелево неразветвленное расширение числового поля К(называемое гильбертовым полем классов) - это поле, норменная подгруппа к-рого совпадает с образом относительно проекции [img: http://localhost:8080/file/041724-47.jpg] группы [img: http://localhost:8080/file/041724-48.jpg], где v пробегает все точки поля К. Группа [img: http://localhost:8080/file/041724-49.jpg] канонически изоморфна группе классов дивизоров СlK- поля К, что дает важный изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/041724-50.jpg]. В частности, над Кнет неразветвленных абелевых расширений тогда и только тогда, когда поле K одноклассно. Тип разложения простого дивизора с поля K в. F полностью определяется классом с в С1 С. Вполне распадаются в Fвсе главные дивизоры и только они. Все дивизоры поля А становятся главными в F. Подобно тому, как П. к. т. для абелевых неразветвленных расширений можно излагать на языке группы классов дивизоров и ее подгрупп, можно дать характеризацию любого конечного абелева расширения поля Кв терминах группы лучевых классов по нек-рому модулю (см. Алгебраическая теория чисел). Существуют также обобщения П. к. т. на случай бесконечных расширений Галуа [4]. Хотя П. к. т. возникла как теория абелевых расширений, ее результаты дают важную информацию и для неабелевых расширений Галуа. Напр., на теории полей классов основано доказательство существования бесконечных башен полей классов (см. Башня полей).