Полигон

над моноидом R, R -полигон, операнд,- непустое множество с моноидом операторов. Точнее, непустое множество Аназ. левым П. над моноидом К, если для любых [img: http://localhost:8080/file/041724-97.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041724-98.jpg] определено произведение [img: http://localhost:8080/file/041724-99.jpg], причем [img: http://localhost:8080/file/041724-100.jpg] и 1а=а для любых [img: http://localhost:8080/file/041724-101.jpg]. Правый П. определяется аналогично. Задание R-полигона Аравносильно заданию гомоморфизма j моноида R в моноид отображений множества Ав себя, переводящего 1 в тождественное отображение. При этом l а=b тогда и только тогда, когда j(l)(а)=b. В частности, каждое непустое множество можно рассматривать как П. над моноидом его отображений в себя. Таким образом, 11. тесно связан с представлением полугруппы преобразованиями. Если А - универсальная алгебра, сигнатура к-рой W содержит лишь унарные операции, то Аможно превратить в П. над свободным моноидом Fс системой свободных образующих W, положив [img: http://localhost:8080/file/041724-102.jpg] для любых [img: http://localhost:8080/file/041724-103.jpg]. Если W - множество входных сигналов автомата с множеством состояний А, то Ааналогичным образом превращается в F-полигон (ср. Автоматов алгебраическая теория). Отображение j R-полигона Ав R-полигон Вназ. гомоморфизмом, если [img: http://localhost:8080/file/041724-104.jpg] для любых [img: http://localhost:8080/file/041724-105.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041724-106.jpg]. При А-В получается определение эндоморфизма. Все эндоморфизмы полигона Аобразуют моноид, и Аможно рассматривать как П. над ним. Эквивалентность 0 на Л-полигоне Аназ. конгруэнцией, если [img: http://localhost:8080/file/041724-107.jpg] влечет [img: http://localhost:8080/file/041724-108.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/041724-109.jpg]. Множество классов конгруэнции q естественным образом превращается в R-полигон, называемый факторполигоном полигона Аи обозначаемый через A/q. Если А - полигон над R, то на Rможно определить отношение Ann A, положив [img: http://localhost:8080/file/041724-110.jpg], если la=ma для всех [img: http://localhost:8080/file/041724-111.jpg]. Отношение Ann Аоказывается конгруэнцией моноида R, и Аестественным образом превращается в П. над фактормоноидом R/Ann А. Если полигон Авозник из нек-рого автомата, то описанный переход равносилен "склеиванию" одинаковым образом действующих последовательностей входных сигналов. Наряду с обычными для универсальных алгебр конструкциями прямого и подпрямого произведения, в теории П. рассматривается важная для алгебраич. теории автоматов конструкция сплетения. Свободное произведение (или копроизведение) П. совпадает с их дизъюнктным объединением. На П. можно смотреть как на неаддитивный аналог модуля над кольцом, что служит богатым источником задач теории П. В частности, установлена связь П. с радикалами в полугруппах и исследуются связи свойств моноида со свойствами П. над ним. Напр., все левые R-полигоны проективны тогда и только тогда, когда R - одноэлементная группа, а инъективность всех П. над коммутативным моноидом Rравносильна наличию в Я нуля и порождаемости всех его идеалов идемпотентами (ср. Гомологическая классификация колец). Если R- моноид с нулем 0, то можно говорить об R-полигоне Ас нулем как об R-полигоне с отмеченной точкой и, причем Оа=и для всех [img: http://localhost:8080/file/041724-112.jpg]. Теория П. с нулем имеет нек-рые особенности. Каждый П. можно рассматривать как функтор из однообъектной категории в категорию множеств.