Полная система

, замкнутая система (дифференциальных уравнений), - система дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка [img: http://localhost:8080/file/041726-32.jpg] (1) со следующим свойством: для любого набора чисел (х, и, р), удовлетворяющего уравнениям (1), справедливы равенства [img: http://localhost:8080/file/041726-33.jpg] где Fij=[Fi, Fj] - Якоби скобки. Для линейных однородных систем условие полноты (формулируется несколько иначе. Скобка Якоби в этом случае линейна по переменным p=(p1,..., р n), и если система записана в виде [img: http://localhost:8080/file/041726-34.jpg] где Pi - линейные дифференциальные операторы 1-го порядка, то этой скобке отвечает коммутатор [Р i, Р j]=PiPj-PjPi. Полнота системы заключается в представимости всех коммутаторов [ Р i, Р j]в виде линейных комбинаций от Р k, с коэффициентами, зависящими только от х=(х 1,..., х n). Если и=и (х) - совместное решение двух уравнений [img: http://localhost:8080/file/041726-35.jpg] то иявляется решением и уравнения [img: http://localhost:8080/file/041726-36.jpg] (2), Произвольную систему вида (1) обычно пытаются расширить до полной добавлением к ней новых независимых уравнений, полученных из старых с помощью операции образования скобок Якоби. При этом расширении в соответствии с (2) ни одно из решений переходной системы не должно теряться, если она вообще разрешима. Свойство системы быть полной инвариантно относительно тех неособых преобразований переменных (х, и, р, F), для к-рых сохраняется смысл дифференциальных уравнений. К таким преобразованиям относится, напр., замена независимых переменных х=g(y), y=(y1,...yn),a также преобразование следующего типа. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041726-37.jpg] - такое гладкое отображение, что [img: http://localhost:8080/file/041726-38.jpg] есть диффеоморфизм [img: http://localhost:8080/file/041726-39.jpg]. Тогда рассматриваемое преобразование заключается в переходе от системы (1) к системе [img: http://localhost:8080/file/041726-40.jpg]