Положительно определенное ядро

комплекснозначная функция K на [img: http://localhost:8080/file/041727-45.jpg], где X - произвольное множество, удовлетворяющая условию [img: http://localhost:8080/file/041727-46.jpg] для любых [img: http://localhost:8080/file/041727-47.jpg]. Измеримые П. о. я. на пространстве с мерой (X,m) соответствуют положительным интегральным операторам в L2 (X,m); включение в схему такого соответствия произвольных положительных операторов требует введения обобщенных П. о. я., ассоциированных с оснащенными гильбертовыми пространствами (см. [1]). Теория П. о. я. обобщает теорию положительно определенных функций на группе: для положительной определенности функции f на группе Gнеобходимо и достаточно, чтобы функция К(х, y) = f(xy-1).на G X G была П. о. я. В частности, на П. о. я. распространяются нек-рые результаты теории положительно определенных функций. Напр., теорема Бохнера о том, что всякая положительно определенная функция есть преобразование Фурье положительной меры (т. е. интегральная линейная комбинация характеров), обобщается следующим образом: всякое П. о. я. (обобщенное) допускает интегральное представление с помощью т. н. элементарных П. о. я. относительно данного дифференциального выражения [1].