Полугруппа операторов

семейство операторов {Т} вбанаховом или топологическом векторном пространстве, обладающее тем свойством, что композиция любых двух операторов семейства снова принадлежит семейству. Если операторы Т"занумерованы" элементами нек-рой абстрактной полугруппы [img: http://localhost:8080/file/041728-107.jpg] и бинарной операции полугруппы отвечает композиция операторов, то полугруппа {Т} наз. представлением полугруппы [img: http://localhost:8080/file/041728-108.jpg]. Наиболее подробно изучены однопараметрические полугруппы линейных ограниченных операторов в банаховом пространстве X, дающие представление аддитивной полугруппы всех положительных чисел, т. е. семейства Т(t).со свойством [img: http://localhost:8080/file/041728-109.jpg] Из сильной измеримости T(t), t>0, следует, что Т(t) - сильно непрерывная полугруппа, поэтому в дальнейшем только такие и рассматриваются. Существует число [img: http://localhost:8080/file/041728-110.jpg] - тип полугруппы. Все функции Т(t)x растут не быстрее экспоненты. Важной характеристикой является инфинитезимальный оператор полугруппы [img: http://localhost:8080/file/041728-111.jpg] определенный на линейном множестве D(А 0) тех элементов х, на к-рых предел существует, и его замыкание А(если оно существует) - производящий оператор полугруппы. Множество D(А 0).плотно на подпространстве Х 0, являющемся замыканием объединения всех значений Т(t)x. Если в Х 0 нет ненулевых элементов, на к-рых [img: http://localhost:8080/file/041728-112.jpg], то существует производящий оператор А. В дальнейшем всегда предполагается, что Х 0=Х и что из [img: http://localhost:8080/file/041728-113.jpg] следует х=0. Наиболее простой класс полугрупп - класс С 0 - выделяется условием: [img: http://localhost:8080/file/041728-114.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041728-115.jpg] и любом [img: http://localhost:8080/file/041728-116.jpg] Для выполнения этого условия необходимо и достаточно, чтобы функция ||T(t)|| была ограниченной на каком-нибудь промежутке (0, а]. В этом случае Т(t).имеет производящий оператор А=А 0, для резольвенты R(l, А)=(A-lI)-1 к-рого выполнено [img: http://localhost:8080/file/041728-117.jpg] (1) где w - тип полугруппы. Обратно, если А - замкнутый оператор с плотной в X областью определения, для резольвенты к-рого выполнено (1), то он является производящим оператором нек-рой полугруппы Т(t).класса С 0, причем [img: http://localhost:8080/file/041728-118.jpg]. Условия (1) выполняются, если [img: http://localhost:8080/file/041728-119.jpg] (условие Хилле - Иосиды). Если при этом w=0, то Т(t) - сжатий полугруппа: [img: http://localhost:8080/file/041728-120.jpg]. Суммируемая полугруппа - та, для к-рой функции ||T(t).|| суммируемы на любом конечном отрезке при всех [img: http://localhost:8080/file/041728-121.jpg]. Суммируемая полугруппа имеет производящий оператор [img: http://localhost:8080/file/041728-122.jpg]. Оператор A0 замкнут тогда и только тогда, когда при любом [img: http://localhost:8080/file/041728-123.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041728-124.jpg] Для суммируемой полугруппы при Rel>w определено преобразование Лапласа [img: http://localhost:8080/file/041728-125.jpg] (2) дающее линейный ограниченный оператор R(l), обладающий многими свойствами резольвенты. Для того чтобы замкнутый оператор Ас плотной в Xобластью определения был производящим оператором суммируемой полугруппы T(t), необходимо и достаточно, чтобы для нек-рого w существовала резольвента R(l, А).при Re l>w и выполнялись условия: а) ||R(l, А)|| [img: http://localhost:8080/file/041728-126.jpg] М,Re l>w; б) существуют такие неотрицательная и непрерывная по совокупности переменных функция [img: http://localhost:8080/file/041728-127.jpg], и неотрицательная функция j(t), ограниченная на любом промежутке [img: http://localhost:8080/file/041728-128.jpg], что при w1>w [img: http://localhost:8080/file/041728-129.jpg] При этом [img: http://localhost:8080/file/041728-130.jpg] Если, дополнительно потребовать, чтобы функция ||T(t)|| была суммируемой на конечных промежутках, то необходимо и достаточно существование такой непрерывной функции j(t) что при w1>w [img: http://localhost:8080/file/041729-1.jpg] (3) [img: http://localhost:8080/file/041729-2.jpg] (4) При этом [img: http://localhost:8080/file/041729-3.jpg]. Выбирая различные функции, удовлетворяющие (3), можно выделять различные подклассы суммируемых полугрупп. Если [img: http://localhost:8080/file/041729-4.jpg], то получается класс С 0 и из (4) вытекает (1). Если j(t) [img: http://localhost:8080/file/041729-5.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041729-6.jpg], то из (4) получается условие [img: http://localhost:8080/file/041729-7.jpg] Полугруппа со степенными особенностями. Если в предыдущем примере [img: http://localhost:8080/file/041729-8.jpg], то в (4) интегралы при n [img: http://localhost:8080/file/041729-9.jpg] расходятся. В соответствии с этим производящий оператор соответствующих полугрупп может не иметь резольвенты ни при каких l, т. е. иметь спектр, совпадающий со всей комплексной плоскостью. Однако для таких операторов, начиная с нек-рого п, существуют функции Sn(l, А), совпадающие в предыдущих случаях с Rn+1(l, А). Оператор-функция Sn(l, А).наз. резольвентой порядка п, если она аналитична в нек-рой области [img: http://localhost:8080/file/041729-10.jpg] и при [img: http://localhost:8080/file/041729-11.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041729-12.jpg] и из того, что Sn(l, A)x=0 при всех [img: http://localhost:8080/file/041729-13.jpg], следует, что x=0. Если [img: http://localhost:8080/file/041729-14.jpg], то оператор может иметь единственную резольвенту порядка n, для к-рой имеется максимальная область аналитичности, наз. резольвентным множеством порядка п. Пусть для сильно непрерывной полугруппы Т(t).выполняется неравенство [img: http://localhost:8080/file/041729-15.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041729-16.jpg]. Тогда ее производящий оператор Вимеет резольвенту порядка ппри n>a-1, причем [img: http://localhost:8080/file/041729-17.jpg] (5) Обратно, пусть оператор Вимеет при Re l>0 резольвенту Sn(l, В).порядка n, для к-рой выполнено (5) при n>a-1. Тогда существует единственная полугруппа T(t).с оценкой [img: http://localhost:8080/file/041729-18.jpg] для производящего оператора Ак-рой Sn(l, A)=Sn(l, В). Гладкая полугруппа. Если [img: http://localhost:8080/file/041729-19.jpg], то функция T(t)xнепрерывно дифференцируема и [img: http://localhost:8080/file/041729-20.jpg] Существуют полугруппы класса С 0, для к-рых при [img: http://localhost:8080/file/041729-21.jpg] функции Т(t)xнедифференцируемы при всех t. Однако для важных классов полугрупп наблюдается явление повышения их гладкости с увеличением t. Если Т(t)x, t>t0, дифференцируемы при любом [img: http://localhost:8080/file/041729-22.jpg], то из полугруппового свойства следует, что Т(t)xдважды дифференцируема при t>2t0, трижды - при t>3t0 и т. Для того чтобы для полугруппы класса С 0 при нек-ром [img: http://localhost:8080/file/041729-24.jpg] функции Т(t)xбыли дифференцируемы при всех [img: http://localhost:8080/file/041729-25.jpg] и t>t0, необходимо и достаточно существование таких чисел a, b, с>0, что резольвента R(l, А).определена в области [img: http://localhost:8080/file/041729-26.jpg] и в этой области [img: http://localhost:8080/file/041729-27.jpg] Для того чтобы Т(t)xбыли бесконечно дифференцируемыми при всех [img: http://localhost:8080/file/041729-28.jpg] и t>0, необходимо и достаточно, чтобы для каждого b>0 нашлись такие ab, cb, что резольвента R(l, а).определена при [img: http://localhost:8080/file/041729-29.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041729-30.jpg] Достаточные условия: если при нек-ром m>w [img: http://localhost:8080/file/041729-31.jpg] то Т(t)хдифференцируемы при t >t0 и [img: http://localhost:8080/file/041729-32.jpg], если t0=0, то Т(t)xбесконечно дифференцируемы при всех t>0 и [img: http://localhost:8080/file/041729-33.jpg] Иногда о гладкости полугруппы можно судить по ее поведению в нуле; напр., если для каждого с>0 существует такое d с, что при 0<t<dc [img: http://localhost:8080/file/041729-34.jpg] то Т(t)xбесконечно дифференцируемы при всех t>0, [img: http://localhost:8080/file/041729-35.jpg] Имеются условия гладкости суммируемых полугрупп и полугрупп степенного роста. Если полугруппа степенного роста a бесконечно дифференцируема при t>0, то функция [img: http://localhost:8080/file/041729-36.jpg] часто также имеет степенной рост: [img: http://localhost:8080/file/041729-37.jpg] Между числами a и b в общем случае нет жесткой связи, и число b может служить для более детальной классификации бесконечно дифференцируемых полугрупп степенного роста. Аналитическая полугруппа. Важный класс полугруппы, связанный с уравнениями с частями производными параболич. типа, состоит из полугрупп T(t), допускающих аналитич. родолжение в нек-рый сектор комплексной плоскости, содержащий положительную полуось. Для того чтобы полугруппа класса С 0 обладала этим свойством, необходимо и достаточно, чтобы в нек-рой правой полуплоскости Re l>w для резольвенты выполнялось неравенство [img: http://localhost:8080/file/041729-38.jpg] Также необходимо и достаточно, чтобы полугруппа была сильно дифференцируемой и чтобы для ее производной имелась оценка [img: http://localhost:8080/file/041729-39.jpg] Наконец, из неравенства [img: http://localhost:8080/file/041729-40.jpg] также следует аналитичность Т(t). Если полугруппа Т(t).допускает аналитич. родолжение Т(z) в сектор [img: http://localhost:8080/file/041729-41.jpg] и имеет степенной рост в нуле, [img: http://localhost:8080/file/041729-42.jpg], то резольвента Sn(l, A).порядка n>a-1 ее производящего оператора Адопускает аналитич. родолжение в сектор [img: http://localhost:8080/file/041729-43.jpg] и в любом секторе [img: http://localhost:8080/file/041729-44.jpg], допускает оценку [img: http://localhost:8080/file/041729-45.jpg] Обратно, пусть резольвента [img: http://localhost:8080/file/041729-46.jpg] оператора Вопределена в секторе [img: http://localhost:8080/file/041729-47.jpg] и справедливо неравенство [img: http://localhost:8080/file/041729-48.jpg] Тогда существует аналитическая в секторе [img: http://localhost:8080/file/041729-49.jpg] полугруппа Т(z).роста а, для производящего оператора Ак-рой [img: http://localhost:8080/file/041729-50.jpg] Полугруппа-распределение. В соответствии с общей концепцией теории распределений (обобщенных функций).можно отказаться от того, чтобы оператор-функция Т(t).была определена при каждом t>0, а потребовать лишь вычислимость интегралов [img: http://localhost:8080/file/041729-51.jpg] для всех j из пространства D([img: http://localhost:8080/file/041729-52.jpg]) всех финитных бесконечно дифференцируемых функций. Тогда возникает определение: полугруппой-распределением в банаховом пространстве Xназ. линейное непрорывное отображение Т(j). пространства D(R) в пространство L(X).всех линейных ограниченных операторов в X, обладающее свойствами: а) T(j)=0, если [img: http://localhost:8080/file/041729-53.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041729-54.jpg]; б) для j, y из пространства D+(R), состоящего из всех функций из D(R). с носителями в [img: http://localhost:8080/file/041729-55.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041729-56.jpg], где свертка [img: http://localhost:8080/file/041729-57.jpg] (полугрупповое свойство); в) если T(j)x=0 для всех [img: http://localhost:8080/file/041729-58.jpg], то x=0; г) линейная оболочка объединения всех значений [img: http://localhost:8080/file/041729-59.jpg], плотна в X; д) для любого [img: http://localhost:8080/file/041729-60.jpg] существует такая непрерывная на [img: http://localhost:8080/file/041729-61.jpg] функция и(t).созначениями в X, что и(0)=у и [img: http://localhost:8080/file/041729-62.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/041729-63.jpg] Инфинитезимальный оператор А 0 полугруппы-распределения определяется так: если существует дельта-последовательность [img: http://localhost:8080/file/041729-64.jpg] такая, что [img: http://localhost:8080/file/041729-65.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041729-66.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041729-67.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/041729-68.jpg] и у=А 0 х. Инфинитезимальный оператор допускает замыкание [img: http://localhost:8080/file/041729-69.jpg], к-рое наз. производящим оператором полугруппы-распределения. Множество [img: http://localhost:8080/file/041729-70.jpg] плотно в X и содержит Т(j)Xпри любой [img: http://localhost:8080/file/041729-71.jpg]. Замкнутый линейный оператор Ас плотной в X областью определения является производящим оператором полугруппы-распределения тогда и только тогда, когда найдутся числа [img: http://localhost:8080/file/041729-72.jpg] и натуральное m такие, что при [img: http://localhost:8080/file/041729-73.jpg] существует резольвента R(l, А).и выполнено неравенство [img: http://localhost:8080/file/041729-74.jpg] (6) Если А - замкнутый линейный оператор в X, то множество [img: http://localhost:8080/file/041729-75.jpg] можно превратить в пространство Фреше [img: http://localhost:8080/file/041729-76.jpg], введя в нем систему норм [img: http://localhost:8080/file/041729-77.jpg] Сужение [img: http://localhost:8080/file/041729-78.jpg] оператора Ана [img: http://localhost:8080/file/041729-79.jpg] оставляет [img: http://localhost:8080/file/041729-80.jpg] инвариантным. Если А- производящий оператор полугруппы-распределения, то [img: http://localhost:8080/file/041729-81.jpg] - производящий оператор полугруппы класса С 0 (непрерывный при [img: http://localhost:8080/file/041729-82.jpg]).в пространстве [img: http://localhost:8080/file/041729-83.jpg]. Обратно, если [img: http://localhost:8080/file/041729-84.jpg] плотно в X, оператор Аимеет непустое резольвентное множество и является производящим оператором полугруппы класса C0 в [img: http://localhost:8080/file/041729-85.jpg], то А - производящий оператор полугруппы-распределения в X. Полугруппа-распределение имеет экспоненциальный порядок роста не выше [img: http://localhost:8080/file/041729-86.jpg], если при нек-ром w>0 отображение [img: http://localhost:8080/file/041729-87.jpg] непрерывно в топологии, индуцированной на D + пространством S([img: http://localhost:8080/file/041729-88.jpg]) быстро убывающих функций. Для того чтобы замкнутый линейный оператор был производящим оператором такой полугруппы-распределения, необходимо и достаточно, чтобы он имел резольвенту R(l, А), для к-рой выполнено (6).в области [img: http://localhost:8080/file/041729-89.jpg] где a, b>0. В частности, если q=1, то полугруппа наз. экспоненциальной и неравенство (6).выполняется в нек-рой полуплоскости. Имеется характеристика полугрупп указанных типов в терминах свойств оператора [img: http://localhost:8080/file/041729-90.jpg]. Для полугруппы-распределений изучены вопросы гладкости и аналитичности. Полугруппа операторов в (отделимом) локально выпуклом пространстве X. Определение сильно непрерывной полугруппы непрерывных в Xоператоров Т(t).остается таким же, как и в банаховом пространстве. Аналогично класс С 0 выделяется свойством [img: http://localhost:8080/file/041729-91.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041729-92.jpg] и любом [img: http://localhost:8080/file/041729-93.jpg]. Полугруппа наз. локально эквинепрерывной (принадлежит классу lС 0), если семейство операторов Т(t).равностепенно непрерывно, когда tпробегает любой конечный промежуток из [img: http://localhost:8080/file/041729-94.jpg]. В бочечном пространстве полугруппа класса C0 всегда локально эквинепрерывна. Полугруппа наз. эквинепрерывной (принадлежит классу uС 0), если семейство [img: http://localhost:8080/file/041729-95.jpg], равностепенно непрерывно. Инфинитезимальнын и производящий операторы полугруппы определяются так же, как и в банаховом случае. В дальнейшем предполагается, что пространство Xсеквенциально полно. Для полугрупп класса lС 0 производящий оператор Асовпадает с инфинитезимальным, его область определения D(А) плотна в Xи, более того, плотно в Xмножество [img: http://localhost:8080/file/041729-96.jpg]. Полугруппа Т(t).оставляет D(А).инвариантной и [img: http://localhost:8080/file/041729-97.jpg] Если А - производящий оператор полугруппы класса иС 0, то при Re l>0 определена резольвента R(l, А).и она является преобразованием Лапласа от полугруппы. Линейный оператор Аявляется производящим оператором полугруппы класса иС 0 тогда и только тогда, когда он замкнут, имеет плотную в Xобласть определения и существует такая последовательность положительных чисел [img: http://localhost:8080/file/041729-98.jpg], что для любого lk, определена резольвента [img: http://localhost:8080/file/041729-99.jpg] и семейство операторов [img: http://localhost:8080/file/041729-100.jpg] равностепенно непрерывно. При этом полугруппа может быть построена по формуле [img: http://localhost:8080/file/041729-101.jpg] В ненор. Непрерывный оператор R(l), определенный для l из множества [img: http://localhost:8080/file/041729-105.jpg], наз. асимптотической резольвентой линейного оператора А, если оператор AR(l) непрерывен в X, оператор R(l) А допускает расширение с D(А).до непрерывного оператора В(l). в Xи существует такая предельная точка l0 множества L, что [img: http://localhost:8080/file/041729-106.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041729-107.jpg] для любого хиз X, где [img: http://localhost:8080/file/041729-108.jpg] Асимптотич. резольвента обладает рядом свойств, близких к свойствам обычной резольвенты. Для того чтобы замкнутый линейный оператор Ас плотной в Xобластью определения был производящим оператором полугруппы класса lС 0, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие числа w и a>0, что при l>w определена асимптотич. резольвента R(l).оператора А, обладающая свойствами: функции R(l), H+(l), H-(l) сильно бесконечно дифференцируемы при l>w, семейства операторов [img: http://localhost:8080/file/041729-109.jpg] равностепенно непрерывны. Теоремы порождения получены и для других классов П. о. в локально выпуклом пространстве. Сопряженная полугруппа. Если Т(t) - полугруппа класса С 0 в банаховом пространстве X, то сопряженные операторы образуют полугруппы ограниченных операторов в сопряженном пространстве X'. Однако соотношение [img: http://localhost:8080/file/041729-110.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041729-111.jpg] и любом [img: http://localhost:8080/file/041729-112.jpg] выполняется лишь в смысле слабой топологии s(X', X). Если А - производящий оператор, то сопряженный оператор А' будет слабым производящим оператором T'(t).в том смысле, что D(А') состоит из всех тех f, для к-рых существует в смысле слабой сходимости предел t-1[T'(t)-I]fпри [img: http://localhost:8080/file/041729-113.jpg], равный А'f Область определения D(А').плотна в X' в смысле слабой топологии, и оператор А' замкнут в этой топологии. Пусть Х +- совокупность тех элементов из X', для к-рых [img: http://localhost:8080/file/041729-114.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041729-115.jpg] в сильном смысле, тогда Х + - замкнутое подпространство X', инвариантное относительно всех T'(t). В Х + операторы Т(t).образуют полугруппы класса С 0. Пространство Х + может быть получено как сильное замыкание в X' множества D(A'). Если исходное пространство рефлексивно, то Х +=Х'. Для полугрупп класса С 0 в локально выпуклых пространствах справедливы аналогичные факты. Полугруппы классов lС 0 и иС 0 порождают полугруппы таких же классов в пространстве X +. Полугруппа-распределение в (отделимом) локально выпуклом пространстве. Полугруппа-распределение T(j) в секвенциально полном локально выпуклом пространстве определяется так же, как и в банаховом пространстве. Полугруппа Т(j) наз. локально эквинепрерывной (класса lD'), если для любого компакта [img: http://localhost:8080/file/041729-116.jpg] семейство операторов [img: http://localhost:8080/file/041729-117.jpg], равностепенно непрерывно. В бочечном пространстве Xвсякая полугруппа-распределение принадлежит классу lD'. Аналогично случаю банахова пространства определяется инфинитезимальный оператор A0 полугруппы-распределения. Для полугрупп класса lD' он замкнут [img: http://localhost:8080/file/041729-118.jpg] плотно в X, при любых [img: http://localhost:8080/file/041729-119.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041729-120.jpg] выполнено [img: http://localhost:8080/file/041729-121.jpg] (7) Обобщенную функцию Тс носителем на [img: http://localhost:8080/file/041729-122.jpg], обладающую свойствами (7), естественно назнать фундаментальной функцией оператора [img: http://localhost:8080/file/041729-123.jpg]. Таким образом, если А- производящий оператор полугруппы Ткласса lD', то Тявляется фундаментальной функцией оператора [img: http://localhost:8080/file/041729-124.jpg]. Обратное утверждение верно при дополнительных предположениях относительно порядка сингулярности фундаментальной функции Т(точнее, функций f(T(j)x), где [img: http://localhost:8080/file/041729-125.jpg]). Для характеризации полугруппы в локально выпуклом пространстве полезным является понятие обобщенной резольвенты. Через [img: http://localhost:8080/file/041729-126.jpg] обозначается образ функции [img: http://localhost:8080/file/041729-127.jpg] при преобразовании Лапласа, в пространстве [img: http://localhost:8080/file/041729-128.jpg] всех образов вводится топология, индуцируемая преобразованием Лапласа из топологии D([img: http://localhost:8080/file/041729-129.jpg]). Преобразование Лапласа Х-значной обобщенной функции Fопределяется равенством [img: http://localhost:8080/file/041729-130.jpg]. При этом [img: http://localhost:8080/file/041729-131.jpg] является непрерывным отображением из [img: http://localhost:8080/file/041729-132.jpg] в пространстве L(X).линейных непрерывных операторов на X. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041729-133.jpg] - пространство всех [img: http://localhost:8080/file/041729-134.jpg], полученных из Fс носителем на [img: http://localhost:8080/file/041729-135.jpg], с естественной топологией. Если А - линейный оператор в X, то его можно "поднять" до оператора [img: http://localhost:8080/file/041729-136.jpg] в пространстве [img: http://localhost:8080/file/041729-137.jpg] с помощью равенства [img: http://localhost:8080/file/041729-138.jpg] Таким образом, он определен на тех [img: http://localhost:8080/file/041729-139.jpg], для к-рых правая часть определена при любой [img: http://localhost:8080/file/041729-140.jpg] и продолжает обобщенную функцию из [img: http://localhost:8080/file/041729-141.jpg]. На [img: http://localhost:8080/file/041729-142.jpg] определяется непрерывный оператор [img: http://localhost:8080/file/041729-143.jpg] равенством [img: http://localhost:8080/file/041729-144.jpg] Если оператор [img: http://localhost:8080/file/041729-145.jpg] имеет непрерывный обратный [img: http://localhost:8080/file/041729-146.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/041729-147.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/041729-148.jpg] наз. обобщенной резольвентой оператора А. Оператор Аимеет обобщенную резольвенту тогда и только тогда, когда у оператора [img: http://localhost:8080/file/041729-149.jpg] существует локально эквиненрерывная фундаментальная функция Т, к-рая строится по формуле: [img: http://localhost:8080/file/041729-150.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041729-151.jpg] При дополнительных условиях Тбудет полугруппой-распределением. В терминах обобщенной резольвенты получена также теорема порождения П. о. класса lС 0. См. также Полугруппа нелинейных операторов.