Полугрупп многообразие

класс полугрупп, задаваемый системой тождеств (см. Алгебраических систем многообразие). Всякое П. м. будет либо периодическим, т. е. состоит из периодич. полугрупп, либо надкоммутативным, т. Следующие условия для П. м. [img: http://localhost:8080/file/041728-16.jpg] эквивалентны [img: http://localhost:8080/file/041728-17.jpg] задано нормальными тождествами; все тождества [img: http://localhost:8080/file/041728-18.jpg] нормальны; [img: http://localhost:8080/file/041728-19.jpg] содержит двухэлементную полурешетку. П. м. [img: http://localhost:8080/file/041728-20.jpg] имеет среди своих тождеств аномальное тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/041728-21.jpg] периодическое и состоит из архимедовых полугрупп. Минимальные П. м. исчерпываются многообразиями всех: 1) полурешеток, 2) полугрупп левых нулей, 3) полугрупп правых нулей (см. Идемпотентов полугруппа),4) полугрупп с нулевым умножением, 5) абелевых групп экспоненты рпри любом простом р. В решетке всех П. м. всякий неединичный элемент имеет покрывающий его элемент; единичный элемент не может быть равен объединению конечного числа неединичных элементов. Решетка всех П. м. не удовлетворяет никакому нетривиальному решеточному тождеству и имеет мощность континуум. Эту же мощность имеют подрешетка всех многообразий нильполугрупп с тождеством x2=0 и подрешетка всех надкоммутатив-ных многообразий. Для нек-рых П. м. [img: http://localhost:8080/file/041728-22.jpg] получены явные описания решетки их подмногообразий [img: http://localhost:8080/file/041728-23.jpg]; описаны П. м. [img: http://localhost:8080/file/041728-24.jpg] с нек-рыми ограничениями на решетку [img: http://localhost:8080/file/041728-25.jpg] П. м. наз. малым, если [img: http://localhost:8080/file/041728-26.jpg] конечна. П. м. [img: http://localhost:8080/file/041728-27.jpg] наз. многообразием конечного индекса, если ступени нильпотентности нилыпотентных полугрупп из [img: http://localhost:8080/file/041728-28.jpg] ограничены в совокупности (это условие эквивалентно тому, что каждая нильполугруппа из [img: http://localhost:8080/file/041728-29.jpg] нильпотентна, а также тому, что [img: http://localhost:8080/file/041728-30.jpg] не содержит многообразия всех коммутативных нильполугрупп с тождеством х 2=0). Всякое малое Л. м. имеет конечный индекс. Для периодического П. м. [img: http://localhost:8080/file/041728-31.jpg] следующие условия эквивалентны [4]: [img: http://localhost:8080/file/041728-32.jpg] состоит из связок архимедовых полугрупп; в любой полугруппе из [img: http://localhost:8080/file/041728-33.jpg] каждый класс кручения есть подполугруппа; [img: http://localhost:8080/file/041728-34.jpg] не содержит полугруппы Крандта В 2 (см. Периодическая полугруппа). Этим условиям удовлетворяют П. м. [img: http://localhost:8080/file/041728-35.jpg] с модулярной решеткой [img: http://localhost:8080/file/041728-36.jpg] и П. м. конечного индекса (в частности, малые П. м.). Малое П. м. локально конечно (т. е. состоит из локально конечных полугрупп) тогда и только тогда, когда локально конечно многообразие всех групп из [img: http://localhost:8080/file/041728-37.jpg]; малое локально конечное многообразие групп - это в точности кроссово многообразие (см. Групп многообразие). О других локально конечных П. м. см. Локально конечная полугруппа. Описаны П. м., состоящие из финитно аппроксимируемых полугрупп [3]. Множество всех П. м. относительно мальцевского умножения образует частичный группоид G. Известны все идемпотенты в G, их в точности 9. Множество всех П. м., задаваемых системами тождеств вида w=0, образует максимальный группоид в G. Изучаются также П. м. полугрупп с дополнительными сигнатурными операциями: многообразия моноидов (с сигнатурной единицей), многообразия полугрупп с сигнатурным нулем, многообразия инверсных полугрупп и др.