Полунепрерывная функция

функция из первого Бэра класса. Подробнее, числовая функция f, определенная на полном метрич. пространстве X, наз. полунепрерывной снизу (сверху) в точке [img: http://localhost:8080/file/041730-17.jpg], если [img: http://localhost:8080/file/041730-18.jpg] Функция f наз. полунепрерывной снизу (сверху) на X, если она. полунепрерывна снизу (сверху) для всех [img: http://localhost:8080/file/041730-19.jpg]. Предел монотонно возрастающей (убывающей) последовательности полунепрерывных снизу (сверху) в точке x0 функций есть П. ф. снизу (сверху) в х 0. Если и(х).и v(x).есть П. ф. соответственно снизу и сверху на Xи для всех [img: http://localhost:8080/file/041730-20.jpg] имеет место [img: http://localhost:8080/file/041730-21.jpg], v(x)<+ [img: http://localhost:8080/file/041730-22.jpg], то существует непрерывная на Xфункция f такая, что [img: http://localhost:8080/file/041730-23.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/041730-24.jpg]. Если m - неотрицательная мера на [img: http://localhost:8080/file/041730-25.jpg], то для любой m-измеримой функции [img: http://localhost:8080/file/041730-26.jpg] существуют две последовательности функций {un(x)} и {vn(x)}, удовлетворяющие условиям: 1) un(x) полунепрерывны снизу, vn (х).полунепрерывны сверху, 2) каждая функция и п (х). ограничена снизу, каждая функция vn(x).- сверху, 3) последовательность {и n} невозрастающая, последовательность {vn} неубывающая, 4) для всех химеет место неравенство [img: http://localhost:8080/file/041730-27.jpg] 5) m-почти всюду. [img: http://localhost:8080/file/041730-28.jpg] 6) если для [img: http://localhost:8080/file/041730-29.jpg] функция f суммируема, [img: http://localhost:8080/file/041730-30.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/041730-31.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041730-32.jpg] (теорема Витали - Каратеодори).