Полупростой элемент

линейной алгебраической группы G - элемен т [img: http://localhost:8080/file/041730-70.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041730-71.jpg], где V - конечномерное векторное пространство над алгебраически замкнутым полем К, являющийся полупростым эндоморфизмом пространства V. Понятие П. э. не зависит от реализации группы Gв виде линейной группы, а определяется лишь структурой ал-гебраич. группы на G. Элемент [img: http://localhost:8080/file/041730-72.jpg] полупрост тогда и только тогда, когда для оператора правого сдвига rg в К[G]существует базис из собственных векторов. При любом рациональном линейном представлении [img: http://localhost:8080/file/041730-73.jpg] множество П. э. группы Gотображается на множество П. э. группы j(G). Аналогично определяются полупростые элементы алгебраической алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/041730-74.jpg], отвечающей группе G; дифференциал [img: http://localhost:8080/file/041730-75.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041730-76.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041730-77.jpg] представления j отображает множество П. э. алгебры [img: http://localhost:8080/file/041730-78.jpg] на множество П. э. своего образа. Полупростой элемент алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/041730-79.jpg] - это элемент [img: http://localhost:8080/file/041730-80.jpg] такой, что присоединенное линейное преобразование ad Xявляется полупростым эндоморфизмом векторного пространства [img: http://localhost:8080/file/041730-81.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/041730-82.jpg] - алгебра Ли редуктивной линейной алгебраич. группы, то Xесть П. э. алгебры [img: http://localhost:8080/file/041730-83.jpg] тогда и только тогда, когда X- полупростой эндоморфизм пространства V.