Полуупорядоченное пространство

общее название векторных пространств, в к-рых определено бинарное отношение частичного порядка, согласованное определенным образом с векторной структурой пространства. Введение порядка в функциональных пространствах позволяет исследовать в общих рамках функционального анализа такие задачи, к-рые существенно связаны с неравенствами между функциями, с выделением классов положительных функций. Однако, в отличие от множества действительных чисел, допускающего полное упорядочение, естественный порядок в функциональных пространствах оказывается лишь частичным; напр., в пространстве С[a, b] естественно считать, что функция f мажорирует функцию g, если f(t)] [img: http://localhost:8080/file/041731-7.jpg] g(t).при всех [img: http://localhost:8080/file/041731-8.jpg]. Но при таком определении порядка многие функции окажутся несравнимыми между собой. Упорядоченные векторные пространства (у. в. п.). Векторное пространство X над полем действительных чисел наз. упорядоченным, если в нем определено бинарное отношение порядка, причем [img: http://localhost:8080/file/041731-9.jpg] влечет [img: http://localhost:8080/file/041731-10.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/041731-11.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041731-12.jpg] для любого числа [img: http://localhost:8080/file/041731-13.jpg]. Таково, напр., С[ а, b]с естественным порядком. Если отношение [img: http://localhost:8080/file/041731-14.jpg] есть порядок, то множество X+= [img: http://localhost:8080/file/041731-15.jpg] - конус, наз. положительным конусом. Обратно, если в векторном пространстве Xзадан конус К с вершиной в нуле, то в Xможет быть введен такой порядок, при к-ром X+=К:следует положить [img: http://localhost:8080/file/041731-16.jpg], если [img: http://localhost:8080/file/041731-17.jpg]. Рассматриваются и более общие у. в. п., и к-рых определена лишь структура квазипорядка. В этом случае множество Х + есть клин, а всякий клин с вершиной в нуле порождает в Xквазипорядок. Пусть у. в. и. Xнаделено порядком. Конус Х + наз. воспроизводящим, если X+ -Х +=Х. Это свойство конуса Х + необходимо и достаточно, для того чтобы любое конечное подмножество из Xбыло ограниченным (сверху и снизу). Те у. в. п., в к-рых всякое ограниченное сверху множество имеет верхнюю грань, иначе - точную верхнюю границу, или супремум (а тогда и всякое ограниченное снизу множество имеет нижнюю грань, иначе - точную нижнюю границу, или инфимум), наз. порядково полными или (о)-полными. Более слабый вид полноты в у. в. п. определяется следующим образом: у. в. п. наз. дедекиндово полным, если всякое его ограниченное сверху и направленное вверх подмножество имеет верхнюю грань (множество [img: http://localhost:8080/file/041731-18.jpg] направлено вверх, если для любых [img: http://localhost:8080/file/041731-19.jpg] существует такой [img: http://localhost:8080/file/041731-20.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/041731-21.jpg]). Если это требование выполнено для ограниченных возрастающих последовательностей, то у. в. п. наз. дедекиндово (о)-полным. Дедекиндова полнота слабее (о)-полноты. Напр., если X- произвольное бесконечномерное банахово пространство, [img: http://localhost:8080/file/041731-22.jpg], а К - конус натянутый на замкнутый шар S(и; r).и элемент 0, и с помощью Кв Xвведен порядок, то X- дедекиндово полное, но не (о)-полное. У. в. п. наз. архимедовым, если в нем выполнена Архимеда аксиома. В частности, архимедовым является всякое дедекиндово (о)-полное у. в. п. В у. в. п. вводится понятие порядковой сходимости: последовательность { х п}(о)-сходится к элементу [img: http://localhost:8080/file/041731-23.jpg], если существуют такие возрастающая и убывающая последовательности { у п}. и {zn}, что [img: http://localhost:8080/file/041731-24.jpg] и sup yn=x=int zn. (о)-предел обладает многими свойствами предела в множестве действительных чисел, однако нек-рые из них справедливы лишь в архимедовых у. в. п. Линейный оператор А, действующий из у. в. п. Xв у. в. п. Y(в частности, линейный функционал с действительными значениями), наз. положительным, если [img: http://localhost:8080/file/041731-25.jpg]. Для положительных функционалов справедлива следующая теорема о распространении. Пусть Е - линейное подмножество в X, мажорирующее конус X+ (это означает, что для любого [img: http://localhost:8080/file/041731-26.jpg] существует такой [img: http://localhost:8080/file/041731-27.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/041731-28.jpg]). Всякий линейный функционал, заданный на Еи положительный относительно конуса [img: http://localhost:8080/file/041731-29.jpg], допускает линейное положительное распространение на все X. Векторная решетка (в. р.) - у. в. п., в к-ром отношение порядка определяет структуру решетки. При этом для определения в. р. достаточно постулировать для любых двух элементов из у. в. п. существование одной из граней: верхней [img: http://localhost:8080/file/041731-30.jpg] или нижней [img: http://localhost:8080/file/041731-31.jpg]. Напр., если существует [img: http://localhost:8080/file/041731-32.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/041731-33.jpg]. Если X - в. р., то конус X+ наз. миниэдральным. В в. р. для любого ее элемента хсуществуют положительная и отрицательная части: [img: http://localhost:8080/file/041731-34.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041731-35.jpg] При этом x=x+-x-, и эта формула дает "минимальное" представление хв виде разности положительных элементов, т. е. если х=у-z, где [img: http://localhost:8080/file/041731-36.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/041731-37.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041731-38.jpg]. Миниэдральный конус является воспроизводящим. Элемент | х|=х ++х - ваз. модулем элемента х. В пространстве С[ а, b] с естественным упорядочением положительный конус миниэдрален, положительная часть любой функции x(t).из Сполучается из x(t).заменой ее отрицательных значений нулем, а модуль есть функция |x(t)|. В в, р. всякое конечное множество элементов имеет обе грани. Модуль элемента в. р. обладает многими свойствами абсолютной величины действительного числа. В. р. наз. дистрибутивной, если для произвольного множества ее элементов {х a}, у к-рого существует sup х a при любом [img: http://localhost:8080/file/041731-39.jpg] справедлива формула: у [img: http://localhost:8080/file/041731-40.jpg]. Тогда верна и двойственная формула: [img: http://localhost:8080/file/041731-41.jpg] Теорема о двойном разбиении положительных элементов: если x=y+z, где [img: http://localhost:8080/file/041731-42.jpg], и одновременно х=х 1+...+х n, где все [img: http://localhost:8080/file/041731-43.jpg], то каждый х i можно представить в виде xi= у i+zi так, что все [img: http://localhost:8080/file/041731-44.jpg] и что y=y1+...+y п, z=z1+...+zn. Два элемента х, у в. р. наз. дизъюнктными (xdy), если [img: http://localhost:8080/file/041731-45.jpg]. Два множества А, В наз. дизъюнктными, если adb для любых [img: http://localhost:8080/file/041731-46.jpg]. В пространстве С[ а, b]дизъюнктность xdy означает, что [img: http://localhost:8080/file/041731-47.jpg]. Положительный элемент еназ. слабой единицей (единицей в смысле Фрейденталя), если 0 - единственный элемент, дизъюнктный с е. В С[ а, b]слабой единицей является любая функция, к-рая больше 0 на всюду плотном множестве. Если же элемент етаков, что для любого хсуществует l, при к-ром [img: http://localhost:8080/file/041731-48.jpg], то еназ. сильной единицей, а Xс сильной единицей наз. в. р. ограниченных элементов. В С[ а, b]сильная единица - любая функция, для к-рой min z(t)>0. Если в архимедовой в. р. Xс сильной единицей еположить [img: http://localhost:8080/file/041731-49.jpg], то Xстановится нормированной решеткой. На плоскости любой конус, кроме одномерного (т. е. луча), миниэдрален. Но в пространствах с большим числом измерений среди замкнутых конусов много не миниэдральных, напр, таковы все "круглые" конусы в R3. Для того чтобы конус (с вершиной в нуле) в n-мерном архимедовом у. в. п. был миниэдральным, необходимо и достаточно, чтобы он был натянут на (п-1)-мерный симплекс с линейно независимыми вершинами. Всякая архимедова n-мерная в. р. изоморфна пространству Rn с покоординатным упорядочением. К-пространства (К.-п.), пространства Канторовича, суть (о)-полные в. р. Это - основной класс П. п., они всегда архимедовы, (о)-сходимость в К.-п. описывается с помощью верхнего и нижнего пределов, [img: http://localhost:8080/file/041731-50.jpg] именно, для огранич. последовательности {xn} и тогда [img: http://localhost:8080/file/041731-51.jpg] означает, что [img: http://localhost:8080/file/041731-52.jpg]. Пусть Xесть К.-н. Для любого множества [img: http://localhost:8080/file/041731-53.jpg] его дизъюнктным дополнением наз. множество [img: http://localhost:8080/file/041731-54.jpg] Всякое множество, к-рое является дизъюнктным дополнением (к какому-либо множеству), наз. полосой. Для любого множества Есуществует наименьшая полоса, содержащая Е, именно Edd;она наз. полосой, порожденной множеством Е. Если само Еесть полоса, то Edd=E. Полоса, порожденная одноэлементным множеством, наз. главной. Понятие, полосы вводится и в любой в. р., однако в К.-п. оно играет особую роль, поскольку справедлива теорема о проектировании на полосу: если Е - полоса в X, то для любого [img: http://localhost:8080/file/041731-55.jpg] существует единственное разложение x=y+z, где [img: http://localhost:8080/file/041731-56.jpg]. Определенный при этом линейный оператор у=Рr Е х наз. проектором на полосу Е. Если задана произвольная совокупность попарно дизъюнктных полос Е a, полная в той смысле, что 0 - единственный элемент из X, дизъюнктный всем Е a, то любой [img: http://localhost:8080/file/041731-57.jpg] представим в виде х= sup xa, где [img: http://localhost:8080/file/041731-58.jpg]. Всякий l-идеал [img: http://localhost:8080/file/041731-59.jpg] также является К.-п. Однако если [img: http://localhost:8080/file/041731-60.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041731-61.jpg] в X, то это соотношение верно и в Y только в том случае, когда последовательность {х п} ограничена в Y. Примером К.-п. служит пространство Sвсех действительных почти всюду конечных измеримых функций на [0, 1], в к-ром эквивалентные функции отождествляются. Функция [img: http://localhost:8080/file/041731-62.jpg] считается положительной, если x(t) [img: http://localhost:8080/file/041731-63.jpg] 0почти всюду. Если А={х п} - счетное ограниченное сверху подмножество из S(ограниченность сверху означает, что существует такая [img: http://localhost:8080/file/041731-64.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/041731-65.jpg] почти всюду для любого п), то функция x(t) = sup xn(t).и будет верхней гранью множества А, т. е. sup Авычисляется поточечно. Однако для несчетных множеств вычисление граней таким же способом уже невозможно, и существование у несчетных множеств ограниченных множеств в Sустанавливается сложнее, (о)-сходимость в Sозначает сходимость почти всюду. Все пространства Lp=[0,1], р>0, являются l-идеалами в S, ипотому они тоже являются К.-п. Важную роль играет теорема Рисса - Канторовича о том, что множество всех порядково ограниченных операторов (т. К.-п. наз. расширенным, если всякое множество его попарно дизъюнктных элементов ограничено. В расширенном К.-п. всегда существует слабая единица. Для любого К.-п. Xсуществует единственное (с точностью до изоморфизма) расширенное К.-п. У, в к-рое Xпогружается как l-идеал, а полоса в Y, порожденная X, совпадает с Y. Такое У наз. максимальным расширением К. - п. Пространство S[0, 1] - максимальное расширение для всех пространств Lp[0,1]. Понятие расширенного К.-п. играет существенную роль во всей теории П. п., в частности при представлении К. п. с помощью функций. С в. р. и К.-п. тесно связано понятие решеточно-нормированного пространства - векторного пространства, каждому элементу к-рого сопоставлена его обобщенная норма, являющаяся элементом фиксированной в. р. и удовлетворяющая обычным для нормы аксиомам, в к-рых знак неравенства понимается в смысле порядка в указанной в. р. Такие пространства используются в теории функциональных уравнений (теоремы существования; методы приближенного решения; метод Ньютона - Канторовича; монотонные процессы последовательных приближений и т. д.). Топологические полуунорядоченные пространства. В функциональном анализе используются также у. в. п., в к-рых одновременно определена еще нек-рая топология, согласованная с порядком. Простейший и важнейший пример такого пространства - банахова решетка. Обобщением понятия банаховой решетки служит локально выпуклая решетка. Важный класс банаховых К.-п. составляют КВ-пространства (КВ-п.), Канторовича - Банаха пространства. Так называется банахово К.-п., удовлетворяющее двум дополнительным условиям: 1) [img: http://localhost:8080/file/041731-69.jpg] влечет [img: http://localhost:8080/file/041731-70.jpg] (порядковая непрерывность нормы); 2) если последовательность {х n} возрастает и не ограничена по порядку, то [img: http://localhost:8080/file/041731-71.jpg] В КВ-п. удается описать с помощью нормы многие факты, опирающиеся по своему смыслу только на порядок. Напр., [img: http://localhost:8080/file/041731-72.jpg] означает, что [img: http://localhost:8080/file/041731-73.jpg] равномерно относительно т. Для того чтобы множество в КВ-п. Ебыло ограничено по порядку, необходимо и достаточно, чтобы ограниченным было множество всех чисел вида [img: http://localhost:8080/file/041731-74.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041731-75.jpg]. КВ-п. есть регулярное К.-п. Пример КВ-п.: Lp[0,1] при [img: http://localhost:8080/file/041731-76.jpg]. Пусть X - произвольное локально выпуклое пространство, наделенное структурой у. в. п. и имеющее т. н. нормальный конус X+;при этом нормальность X+ равносильна тому, что в Xсуществует база окрестностей нуля, состоящая из абсолютно выпуклых и порядково насыщенных множеств U(последнее означает, что если [img: http://localhost:8080/file/041731-77.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041731-78.jpg], то и весь интервал [ х, у] [img: http://localhost:8080/file/041731-79.jpg] U). Для того чтобы каждый непрерывный линейный функционал на локально выпуклом у. в. п. был представим в виде разности положительных непрерывных линейных функционалов, необходима и достаточна нормальность конуса X+ в слабой топологии. Для нормированных пространств нормальность конуса в слабой и сильной топологии равносильны.